平均算は、公務員試験の数的推理で毎年出題される頻出パターンです。「2群の平均」「基準値と平均」「メンバー交代と平均変動」「入出金・増減と平均変動」の4つのタイプに分かれます。共通するコツは「平均 × 人数 = 合計」に戻して方程式を立てること。平均のまま足し引きせず、必ず合計に変換するのが鉄則です。
| タイプ | ひとことで言うと | 頻出度 | 難易度の目安 |
|---|---|---|---|
| 2群の平均 | 全体を2つのグループに分けて、片方の平均を求める | ★★★ | ★☆☆〜★★☆ |
| 基準値と平均 | 「基準より◯高い／低い」という条件から基準値を逆算する | ★★☆ | ★★☆ |
| メンバー交代と平均変動 | メンバーが入れ替わったとき、平均の変化から個人の値を求める | ★★☆ | ★★☆ |
| 入出金・増減と平均変動 | 一部が増加・一部が減少したとき、人数比を倍数条件で絞る | ★★☆ | ★★★ |
このパターンで頻出の用語と公式
平均算のどのタイプでも繰り返し使う基本の公式です。ここで押さえておくと、各タイプの解説がスムーズに読めます。
この問題で使う用語と公式
平均の基本公式
- 平均 = 合計 ÷ 人数
- 変形すると → 合計 = 平均 × 人数
- 平均算では、この変形がすべての基本です。「平均」のまま計算しようとするとミスのもとになります。必ず「合計」に戻してから方程式を立てましょう。
- 例: 10人の平均が50点 → 合計は 50 × 10 = 500点
てんびん図（2群の平均で使える別解）
- 2つのグループの平均を数直線の両端に、全体の平均を支点（てんびんの支え）に置く
- 支点から両端までの距離の比 = 人数の逆比になる
- 例: A群の平均80点、B群の平均65点、全体平均70点のとき
- A側のウデの長さ: 80 − 70 = 10
- B側のウデの長さ: 70 − 65 = 5
- 距離の比 A側:B側 = 10:5 = 2:1 → 人数の比は逆で A:B = 1:2
1. 2群の平均
この問題で使う用語と公式
平均の基本公式（復習）
- 合計 = 平均 × 人数
- 平均算の全てはここに帰着します。グループごとの合計を求めて足し合わせれば、全体の合計と一致する——この関係が方程式になります。
てんびん図（復習）
- 2つのグループの平均を扱う問題では、方程式のほかにてんびん図でも解けます。
- 支点 = 全体の平均、両端 = 各グループの平均、ウデの長さの比 = 人数の逆比
- 方程式が苦手な人はこちらを使うとスムーズです。
こういう問題が出る
「ある講座の受講者90人の平均点は64点で、上級クラス30人の平均点は76点であった。残りの受講者の平均点はいくらか」のように、全体を2つのグループに分け、それぞれの平均と人数の関係から、未知の平均を求める問題です。人数が「全体の3分の1」「競争率◯倍」のように間接的に与えられることが多いのが特徴です。
こう考える
例題で確認
例題
【別解: てんびん図】
てんびんの支点（全体平均）を 64点、右端に上級クラスの平均 76点、左端に上級クラス以外の平均 点を置きます。
ウデの長さの比は人数の逆比なので、上級クラス以外の側：上級クラスの側 = 30：60 = 1：2 となります。
上級クラスの側のウデの長さは なので、上級クラス以外の側のウデの長さは です。
よって、（点）。
類題を解く 「平均算」の問題演習をする2. 基準値と平均
この問題で使う用語と公式
基準値とは
- この問題に出てくる「基準値」とは、各グループの平均が「基準値より◯高い（重い）」「基準値より◯低い（軽い）」と表現される、基準となる値のことです。
- 例えば「Lサイズの平均の重さは基準重量より30g重い」「それ以外の平均の重さは基準重量より15g軽い」のように使われます。
- 基準値を とおけば、各グループの平均を 、 のように文字で表せます。
平均の基本公式（復習）
- 合計 = 平均 × 人数
- 各グループの平均を を使って表し、合計の等式を立てれば が求まります。
こういう問題が出る
「収穫したりんごのうちLサイズの平均の重さは基準重量より30g重く、それ以外は基準重量より15g軽い。全体の平均が300gのとき、基準重量はいくらか」のように、基準値からの差で各グループの平均が与えられ、基準値そのものを求める問題です。
こう考える
例題で確認
例題
3. メンバー交代と平均変動
この問題で使う用語と公式
平均の基本公式（復習）
- 合計 = 平均 × 人数
- このタイプでは、メンバー交代の前後で合計を比較します。共通メンバーの値は差を取ると消えるので、交代したメンバーの値の差だけが残ります。
時間経過に注意
- 2つの時点が異なる場合（「2年後に…」など）、全員の年齢が同じだけ増えます。
- 例えば「ある年の平均年齢が38歳」なら、2年後の平均年齢は 40歳（全員+2歳）です。
- これを忘れると合計が「人数 × 経過年数」だけずれて、答えを大きく間違えます。
こういう問題が出る
「4人チームのメンバーの1人が別の人に交代し、平均年齢が変わった。交代した2人の年齢差はいくらか」のように、グループのメンバーが入れ替わったとき、平均の変化から交代した人同士の値の差を求める問題です。
こう考える
このタイプは合計の差を取るだけなので、方程式を使わなくても解けます。
例題で確認
例題
4. 入出金・増減と平均変動
この問題で使う用語と公式
不定方程式型の平均算
- このタイプは、方程式を解いても答えが1つに定まりません。代わりに人数の比（例: ）が求まります。
- 比が求まったら、全体の人数は比の和の倍数であることを利用して、選択肢から正解を選びます。
- 例: なら、全体 は の倍数
平均の基本公式（復習）
- 合計 = 平均 × 人数
- 増減の合計を「増えた分と減った分の差」と「平均変動 × 人数」の2通りで表すのがポイントです。
こういう問題が出る
「あるクラスで、2回目のテストでは何人かが1回目より9点上がり、残りの全員が6点下がったところ、クラスの平均点が3点上がった。クラスの人数はいくらか」のように、グループ内の一部が増加、残りが減少したとき、平均の変動から人数を求める問題です。
こう考える
例題で確認
例題
