平均算は、公務員試験の数的推理で毎年出題される頻出パターンです。「2群の平均」「基準値と平均」「メンバー交代と平均変動」「入出金・増減と平均変動」の4つのタイプに分かれます。共通するコツは「平均 × 人数 = 合計」に戻して方程式を立てること。平均のまま足し引きせず、必ず合計に変換するのが鉄則です。
| タイプ | ひとことで言うと | 頻出度 | 難易度の目安 |
|---|---|---|---|
| 2群の平均 | 全体を2つのグループに分けて、片方の平均を求める | ★★★ | ★☆☆〜★★☆ |
| 基準値と平均 | 「基準より◯高い／低い」という条件から基準値を逆算する | ★★☆ | ★★☆ |
| メンバー交代と平均変動 | メンバーが入れ替わったとき、平均の変化から個人の値を求める | ★★☆ | ★★☆ |
| 入出金・増減と平均変動 | 一部が増加・一部が減少したとき、人数比を倍数条件で絞る | ★★☆ | ★★★ |
このパターンで頻出の用語と公式
平均算のどのタイプでも繰り返し使う基本の公式です。ここで押さえておくと、各タイプの解説がスムーズに読めます。
この問題で使う用語と公式
平均の基本公式
- 平均 = 合計 ÷ 人数
- 変形すると → 合計 = 平均 × 人数
- 平均算では、この変形がすべての基本です。「平均」のまま計算しようとするとミスのもとになります。必ず「合計」に戻してから方程式を立てましょう。
- 例: 10人の平均が50点 → 合計は 50 × 10 = 500点
てんびん図（2群の平均で使える別解）
- 2つのグループの平均を数直線の両端に、全体の平均を支点（てんびんの支え）に置く
- 支点から両端までの距離の比 = 人数の逆比になる
- 例: A群の平均68点、B群の平均48点、全体平均50点のとき
- A側のウデの長さ: 68 − 50 = 18
- B側のウデの長さ: 50 − 48 = 2
- 距離の比 18:2 = 9:1 → 人数の比は逆で B:A = 9:1
1. 2群の平均
この問題で使う用語と公式
平均の基本公式（復習）
- 合計 = 平均 × 人数
- 平均算の全てはここに帰着します。グループごとの合計を求めて足し合わせれば、全体の合計と一致する——この関係が方程式になります。
てんびん図（復習）
- 2つのグループの平均を扱う問題では、方程式のほかにてんびん図でも解けます。
- 支点 = 全体の平均、両端 = 各グループの平均、ウデの長さの比 = 人数の逆比
- 方程式が苦手な人はこちらを使うとスムーズです。
こういう問題が出る
「ある試験の受験者100人の平均点は50点で、合格者10人の平均点は68点であった。不合格者の平均点はいくらか」のように、全体を2つのグループに分け、それぞれの平均と人数の関係から、未知の平均を求める問題です。人数が「競争率10倍」「全体の20%」のように間接的に与えられることが多いのが特徴です。
こう考える
例題で確認
例題
【別解: てんびん図】
てんびんの支点（全体平均）を 50点、右端に合格者の平均 68点、左端に不合格者の平均 点を置きます。
ウデの長さの比は人数の逆比なので、不合格者側：合格者側 = 10：90 = 1：9 となります。
合格者側のウデの長さは なので、不合格者側のウデの長さは です。
よって、（点）。
類題を解く 「平均算」の問題演習をする2. 基準値と平均
この問題で使う用語と公式
基準値とは
- この問題に出てくる「基準値」とは、各グループの平均が「基準値より◯高い」「基準値より◯低い」と表現される、基準となる値のことです。
- 例えば「特別会員の平均年齢は基準年齢より3歳高い」「一般会員の平均年齢は基準年齢より5歳低い」のように使われます。
- 基準値を とおけば、各グループの平均を 、 のように文字で表せます。
平均の基本公式（復習）
- 合計 = 平均 × 人数
- 各グループの平均を を使って表し、合計の等式を立てれば が求まります。
こういう問題が出る
「あるサークルの特別会員の平均年齢は基準年齢より3歳高く、一般会員の平均年齢は基準年齢より5歳低い。全体の平均年齢が57.8歳のとき、基準年齢はいくらか」のように、基準値からの差で各グループの平均が与えられ、基準値そのものを求める問題です。
こう考える
例題で確認
例題
3. メンバー交代と平均変動
この問題で使う用語と公式
平均の基本公式（復習）
- 合計 = 平均 × 人数
- このタイプでは、メンバー交代の前後で合計を比較します。共通メンバーの値は差を取ると消えるので、交代したメンバーの値の差だけが残ります。
時間経過に注意
- 2つの時点が異なる場合（「1年後に…」など）、全員の年齢が同じだけ増えます。
- 例えば「平成25年の平均年齢が32歳」なら、1年後の平均年齢は 33歳（全員+1歳）です。
- これを忘れると合計がずれて、答えが半分くらいの値になってしまいます。
こういう問題が出る
「3人グループのメンバーCがDに交代し、平均年齢が変わった。CとDの年齢差はいくらか」のように、グループのメンバーが入れ替わったとき、平均の変化から交代した人同士の値の差を求める問題です。
こう考える
このタイプは合計の差を取るだけなので、方程式を使わなくても解けます。
例題で確認
例題
4. 入出金・増減と平均変動
この問題で使う用語と公式
不定方程式型の平均算
- このタイプは、方程式を解いても答えが1つに定まりません。代わりに人数の比（例: ）が求まります。
- 比が求まったら、全体の人数は比の和の倍数であることを利用して、選択肢から正解を選びます。
- 例: なら、全体 は の倍数
平均の基本公式（復習）
- 合計 = 平均 × 人数
- 増減の合計を「入出金の差」と「平均変動 × 人数」の2通りで表すのがポイントです。
こういう問題が出る
「あるグループの平均預金残高が600万円。何人かが40万円ずつ入金し、残りが60万円ずつ出金したところ、平均が615万円になった。このグループの人数はいくらか」のように、グループ内の一部が増加、残りが減少したとき、平均の変動から人数を求める問題です。
こう考える
例題で確認
例題