【確率】解き方とコツ｜例題・練習問題つき

確率は、公務員試験の数的推理で毎年出題される最頻出パターンです。「余事象で解く確率」「席・配置の確率」「じゃんけん型」「反復試行＋得点条件」など7つのタイプに分かれます。共通するコツは「全体の場合の数を正しく数えて、条件を満たす場合の数を見つける」こと。「場合の数」（sr-02）をしっかり押さえた上で取り組むと理解がスムーズです。

タイプ	ひとことで言うと	頻出度	難易度の目安
余事象で解く確率	「少なくとも1つ」は余事象が鉄則	★★★	★☆☆〜★★☆
グループからの選出	複数グループから1人ずつ選ぶ	★★☆	★★☆
席・配置の確率	N人がランダムに座るとき	★★☆	★★☆
じゃんけん型	全員同時に手を出す確率	★★☆	★★☆
総当たり戦の確率	リーグ戦で全員同じ成績になる確率	★★☆	★★☆
逐次選択	毎回確率が変わる段階的な問題	★★☆	★★☆〜★★★
反復試行＋得点条件	繰り返しゲームで特定の得点になる確率	★★☆	★★★

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このパターンで頻出の用語と公式

確率のどのタイプでも繰り返し使う基本の公式・定理です。ここで押さえておくと、各タイプの解説がスムーズに読めます。

この問題で使う用語と公式

確率の基本公式

確率 = 条件を満たす場合の数 ÷ 全体の場合の数
すべての場合が同様に確からしい（どの結果も同じ確率で起こる）ときに使える
確率の値は 0（絶対に起こらない）〜 1（必ず起こる）の範囲になる

組合せ

n個からr個を選ぶ方法の数。順番は関係ない
計算方法: ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
実際の計算: ${}_{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

階乗（N!）と順列

N人がN個の席に座る方法の総数 = $N!$ （Nの階乗）
例: $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
よく使う値: $3! = 6$ 、 $4! = 24$ 、 $5! = 120$ 、 $6! = 720$

余事象

「少なくとも1つ〜」「1回以上〜」のような条件は、直接数えると場合分けが多くなる
「全部ダメなケース（1つも条件を満たさない場合）」を先に求めて、全体から引く方が楽
求める確率 = 1 − 余事象の確率

独立試行

くじを引いて元に戻す場合、毎回の確率は変わらない。これを独立試行という
K回とも外れる確率 = $(1回の外れる確率)^{K}$
注意: 「元に戻さない」場合は独立試行にならない（毎回の確率が変わる）

乗法定理

事象Aが起こり、そのあと事象Bが起こる確率 = Aの確率 ×（Aが起こった条件でのBの確率）
各段階の確率を掛け合わせて全体の確率を求める

反復試行の確率

同じ試行をN回繰り返すとき、「成功r回・失敗(N−r)回」となる確率は:
${}_{N}C_{r} \times p^{r} \times (1-p)^{N-r}$
${}_{N}C_{r}$ は「N回のうちどの回で成功するかの組み合わせ」
$p$ は1回あたりの成功確率
例: 3回中1回成功（成功確率 $\frac{1}{6}$ ）→ ${}_{3}C_{1} \times \left(\frac{1}{6}\right)^{1} \times \left(\frac{5}{6}\right)^{2} = 3 \times \frac{25}{216} = \frac{25}{72}$

1. 余事象で解く確率

この問題で使う用語と公式

組合せ（復習）

n個からr個を選ぶ方法の数。 ${}_{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

余事象（復習）

「少なくとも1つ〜」→ 余事象（「1つもない場合」）を先に求めて 1 から引く
求める確率 = 1 − 余事象の確率

独立試行（復習）

くじを引いて元に戻す場合、毎回の確率は変わらない
K回とも外れる確率 = $(1回の外れる確率)^{K}$

こういう問題が出る

「袋に赤玉4個と白玉6個が入っている。3個同時に取り出すとき、少なくとも1個は赤玉である確率は」「くじを引いて戻すことを3回繰り返すとき、少なくとも1回は当たる確率は」のように、「少なくとも〜」という条件の確率を求める問題です。

こう考える

「少なくとも」を見たら余事象を思い出す

全体の場合の数を求める（組合せ

{}_{n}C_{r}

か、べき乗

3^{N}

か）

余事象の場合の数を求める（「1つもない場合」「1回も当たらない場合」）

求める確率 = 1 − 余事象の確率

余事象の確率をそのまま答えてしまう（1から引き忘れ）。「少なくとも1個が赤」を求めたいのに「全部白」の確率を最終回答にしてしまうパターンです。

復元あり／なしに注意: 「元に戻す」場合（復元あり）は毎回の確率が同じ（べき乗で計算）。「同時に取り出す」「元に戻さない」場合（復元なし）は組合せで計算。問題文の指示を見落とさないようにしましょう。

例題で確認

例題

袋にオレンジ味のキャンディーが4個、レモン味のキャンディーが6個、合計10個入っている。この袋から同時に3個を取り出すとき、少なくとも1個はオレンジ味である確率はどれか。

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2. グループからの選出

この問題で使う用語と公式

積の法則（独立な選択の場合の数）

複数のグループからそれぞれ1人ずつ選ぶとき、全体の場合の数は各グループの人数をかけ算する
例: A組6人、B組6人、C組6人からそれぞれ1人ずつ → $6 \times 6 \times 6 = 216$ （通り）

条件つきの数え上げ

条件を満たすパターンを数えるときは、まず条件を満たすメンバーだけに注目して場合の数を求める
除外すべきケース（数えすぎ）があれば引く

こういう問題が出る

「3つのクラスからそれぞれ代表を1人ずつ選ぶとき、5年生と6年生が両方含まれる確率は」のように、複数のグループから独立に選んだとき、特定の条件を満たす確率を求める問題です。

こう考える

全体の場合の数 = 各グループの人数の積

条件を満たす場合の数を数え上げる。条件が「AかつB」の形なら、条件を分解して考える

除外すべきケースがないか確認する（「両方含まれる」の条件で「全員同じ」を除外するなど）

確率 = 条件を満たす ÷ 全体

条件を満たすパターンの中に「数えすぎ」がないか確認すること。例えば「5年生と6年生が両方いる」を求めるとき、「全員5年」「全員6年」のパターンは条件を満たさないので除外が必要です。

例題で確認

例題

ある学校にはA組・B組・C組の3クラスがあり、各クラスにはそれぞれ5年生と6年生が3人ずつ在籍している。各クラスから1人ずつ合計3人を選ぶとき、選ばれた3人の中に5年生と6年生が両方含まれる確率はどれか。

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3. 席・配置の確率

この問題で使う用語と公式

階乗（復習）

N人がN個の席に座る方法の総数 = $N!$ （Nの階乗）
例: $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

「特定の人だけに注目する」解法

全員の座り方を考えるのが大変なときは、注目する2〜3人の席の組み合わせだけで確率を求められる
例: 6席のうち2人の席の選び方は ${}_{6}C_{2} = 15$ 通り。条件を満たすのが1通りなら確率は $\frac{1}{15}$

こういう問題が出る

「6人がくじを引いてカウンター席①〜⑥に座るとき、AとBが両端に座る確率は」のように、ランダムな席決めで特定の人が特定の位置になる確率を求める問題です。

こう考える

席・配置の問題には複数の解法がありますが、「注目する人の席の組み合わせだけで考える」方法が最も速いです。

注目する人（例えばAとB）の席の選び方の総数を求める（

{}_{N}C_{2}

通り）

条件を満たす席の組み合わせを数える

確率 = 条件を満たす ÷ 全体

「AとBが両端」のとき、A①B⑥ と A⑥B① の2通りあることを忘れて

\frac{1}{30}

としてしまう。席の組み合わせ（

{}_{6}C_{2} = 15

）で考えれば（①, ⑥）の1通りで自然に正解にたどり着けます。

例題で確認

例題

6人がくじを引いて、カウンター席①〜⑥にランダムに座る。AとBの2人が両端（①と⑥）に座る確率はどれか。

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4. じゃんけん型

この問題で使う用語と公式

同時選択の場合の数

N人がグー・チョキ・パーの3つから1つを選ぶ → 全体は $3^{N}$ 通り
例: 4人なら $3^{4} = 81$ 通り

対称性の利用

じゃんけんでは「誰が勝つか」は対称。Aが勝つ確率もBが勝つ確率も同じ
「特定の1人が勝つパターン」を数えて、人数分をかけるのが定石

こういう問題が出る

「4人がじゃんけんを1回行い、1人だけが勝つ確率は」のように、全員が同時に手を出すときの条件付き確率を求める問題です。

こう考える

全体の場合の数 =

3^{N}

特定の1人（例えばA）が勝者になるパターンを数える。Aがグーで勝つ（他全員チョキ）、チョキで勝つ（他全員パー）、パーで勝つ（他全員グー）の3通り

対称性でN人分に拡張: N人のうち誰が勝者かはN通りあるので

\times N

確率 =

\frac{3N}{3^{N}}

対称性に気づかず、全パターンを列挙しようとして時間切れ。「1人だけ勝つ」なら、まずAだけで考えてN倍、が鉄則です。

例題で確認

例題

A, B, C, Dの4人がじゃんけんを1回行う。それぞれグー・チョキ・パーを等確率で出すとき、1人だけが勝者となる確率はどれか。

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5. 総当たり戦の確率

この問題で使う用語と公式

総当たり戦（リーグ戦）の試合数

N人の総当たり戦の試合数 = ${}_{N}C_{2}$ （2人の組み合わせの数）
例: 3人 → ${}_{3}C_{2} = 3$ 試合、4人 → ${}_{4}C_{2} = 6$ 試合

各試合の結果のパターン数

各試合で勝敗が2通り、引き分けなし → 全体は $2^{試合数}$ 通り
例: 3人の総当たり（3試合）→ $2^{3} = 8$ 通り

こういう問題が出る

「A, B, Cの3人が総当たり戦を行う。引き分けがなく各試合で勝つ確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ のとき、全員が1勝1敗になる確率は」のように、リーグ戦の結果に関する確率を求める問題です。

こう考える

試合数を確認:

{}_{N}C_{2}

試合

全体の場合の数:

2^{試合数}

1つの試合の結果を固定して、残りが一意に決まるか確認する。3人総当たりで「全員1勝1敗」の場合、1試合目の結果を決めると残りの結果がほぼ決まる

場合分けして数え上げ → 確率を計算

余事象の確率（全員同じ成績にならない確率）を答えてしまう。問題文で「何の確率」を聞かれているか注意。

例題で確認

例題

A, B, Cの3人が総当たり戦を行う。引き分けはなく、各試合で勝つ確率はそれぞれ

\frac{1}{2}

である。3人とも1勝1敗になる確率はどれか。

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6. 逐次選択

この問題で使う用語と公式

乗法定理（復習）

各段階の確率を掛け合わせて全体の確率を求める
事象Aが起こり、そのあと事象Bが起こる確率 = Aの確率 ×（Aが起こった条件でのBの確率）

1枚目は何でもOK

神経衰弱のような「2枚ペアを作る」問題では、1枚目は何を引いても構わない
確率の計算が始まるのは2枚目から（「残りの中にペアがあるかどうか」が確率になる）

こういう問題が出る

「4種類 × 各2枚の計8枚のカードが伏せてある。2枚ずつめくってペアならば除去する。すべてのカードを取り除ける確率は」のように、毎回の確率が変化する段階的な問題です。

こう考える

各段階で「残り何枚の中から選ぶか」を整理する

1枚目は任意 → 2枚目がペアになる確率を求める

ペアが成立したら残りの枚数で同じことを繰り返す

最後の2枚は必ずペア（確率1）であることに注意

各段階の確率を掛け合わせる

最後の段階（残り2枚）を「確率1」にし忘れて余計な計算をしてしまう。

例題で確認

例題

4種類のカードが各2枚ずつ、合計8枚が裏向きに並んでいる。無作為に2枚を選んで表にし、同じ種類なら取り除く。これを繰り返して全てのカードを取り除ける確率はどれか。

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7. 反復試行＋得点条件

この問題で使う用語と公式

反復試行の確率（復習）

同じ試行をN回繰り返すとき、「成功r回・失敗(N−r)回」となる確率は:
${}_{N}C_{r} \times p^{r} \times (1-p)^{N-r}$
${}_{N}C_{r}$ は「N回のうちどの回で成功するかの組み合わせ」、 $p$ は1回あたりの成功確率

なぜ nCr をかけるのか

例えば3回中1回成功する場合、「1回目に成功」「2回目に成功」「3回目に成功」の3通りがある
どのパターンも確率は同じなので、 ${}_{3}C_{1} = 3$ 倍する

加法定理

複数の条件を満たすパターンがあるとき、同時に起こりえない（排反な）場合は足し算で合算する
例: 「8点になる確率」＋「14点になる確率」

こういう問題が出る

「サイコロで指定した目を当てるゲームを3回行う。当てると+5点、外すと−1点。持ち点5点から始めて、最終得点が8点または14点になる確率は」のように、繰り返しゲームの得点条件から確率を求める問題です。

こう考える

得点表を作る: 成功回数ごとに最終得点を計算して表にする

条件を満たす成功回数を特定する

反復試行の公式に当てはめる:

{}_{N}C_{r} \times p^{r} \times (1-p)^{N-r}

複数の成功回数が条件を満たすなら足し合わせる（加法定理）

反復試行の係数

{}_{N}C_{r}

をかけ忘れて、1パターンだけの確率を答えてしまう。「3回中1回成功」には3通りのパターンがあることを忘れずに。

例題で確認

例題

サイコロを振って指定した目が出れば「一致」とするゲームを3回行う。最初の持ち点は5点で、一致すれば+5点、不一致ならば−1点とする。3回終了後に持ち点が8点または14点になる確率はどれか。

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