【整数の性質】解き方とコツ｜例題・練習問題つき

整数の性質は、公務員試験の数的推理で毎年出題される頻出パターンです。「約数・倍数」「不定方程式」「余りの問題」など4つのタイプに分かれます。共通するコツは「整数ならではの性質で候補を絞り込む」こと。方程式を解くというより、「人数は整数」「割り切れる」といった条件を使って候補を狭めていくのが基本です。

タイプ	ひとことで言うと	頻出度	難易度の目安
約数・倍数	倍数の個数を数える、最小公倍数で全体を求める	★★★	★☆☆〜★★☆
整数の条件からの絞り込み	素因数分解や桁の条件から整数を特定する	★★☆	★☆☆〜★★★
不定方程式	「合計◯円、何個ずつ？」を整数の条件で解く	★★☆	★★☆〜★★★
余りの問題	「◯で割ると△余る」から数を特定する	★★★	★☆☆〜★★★

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1. 約数・倍数

この問題で使う用語と公式

約数と倍数

約数: ある整数を割り切れる整数のこと。例えば12の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12
倍数: ある整数を何倍かした整数のこと。例えば3の倍数は 3, 6, 9, 12, 15, …
公倍数: 2つ以上の整数に共通する倍数のこと。例えば3と4の公倍数は 12, 24, 36, …
最小公倍数: 公倍数の中で最も小さいもの。3と4の最小公倍数は12

N以下のaの倍数の個数 = N ÷ a（小数点以下切り捨て）

最小公倍数の求め方

2つの数が互いに素（共通の約数が1だけ）なら → そのままかけ算。例: 3と4 → 3 × 4 = 12
互いに素でないなら → 共通部分を1回だけかける。例: 6と8 → 6 = 2 × 3、8 = $2^3$ → 最小公倍数 = $2^3 \times 3 = 24$ （6 × 8 = 48 ではないので注意）

包除原理（「または」の数え方）

「AまたはB」の個数 = Aの個数 + Bの個数 − 「AかつB」の個数

こういう問題が出る

「1から2000までの整数のうち、4の倍数であるが3の倍数でないものは何個か」のように、ある範囲の中で条件に合う倍数の個数を数える問題です。

こう考える

各倍数の個数を計算する（N ÷ a で割るだけ）

公倍数の個数を計算する（最小公倍数を求めてから N ÷ 最小公倍数）

条件に合わせて足し引きする

「aの倍数かつ bの倍数でない」→ (aの倍数) − (aとbの公倍数)
「aの倍数 または bの倍数」→ 包除原理を使う

最小公倍数の計算を間違えるケースが非常に多いです。特に「6と8の最小公倍数」を 6 × 8 = 48 としてしまうミス。互いに素かどうかを必ず確認しましょう。

例題で確認

例題

1から2000までの整数のうち、4の倍数であるが3の倍数でないものは何個か。

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2. 整数の条件からの絞り込み

この問題で使う用語と公式

素因数分解

素数: 1と自分自身以外に約数を持たない、2以上の整数。2, 3, 5, 7, 11, 13, …
素因数分解: 整数を素数の掛け算で表すこと
やり方: 小さい素数から順番に割っていく
- 例: 84 → 2で割って42 → 2で割って21 → 3で割って7 → $84 = 2^2 \times 3 \times 7$
よく出る素因数分解: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ 、 $120 = 2^3 \times 3 \times 5$ 、 $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

平方数

平方数: ある整数を2回かけてできる数（= $n^2$ の形になる数）。1, 4, 9, 16, 25, 36, …
平方数かどうかの判定法: 素因数分解したとき、すべての素因数の指数が偶数なら平方数
- 例: $36 = 2^2 \times 3^2$ → 指数が全部偶数 → 平方数
- 例: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ → 3と7の指数が1（奇数）→ 平方数ではない

約数の個数 = 素因数分解の各指数に1を足してかけ合わせる

例: $84 = 2^2 \times 3^1 \times 7^1$ → 約数の個数 = $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$ 個

こういう問題が出る

「ある整数を素因数分解すると…」「3桁の整数の各桁が次の条件を満たすとき…」のように、整数に関する条件から答えとなる整数を特定する問題です。バリエーションが最も多く、素因数分解を使うもの、桁の条件から絞るもの、投票の得票状況から当選確実ラインを求めるものなど、さまざまです。

こう考える

このタイプに共通するアプローチは「順番に調べず、まず候補を見つけてからチェックする」ことです。全部の可能性をしらみつぶしに調べていると時間が足りません。

素因数分解の問題: まず素因数分解し、平方数条件や約数の個数の公式を使って絞る
桁の条件の問題: 各桁を文字に置いて条件を式にする。2倍・3倍した数の条件があるときは「繰り上がり」の検討を忘れずに
得票・当選確実の問題: 「残り票が全部ライバルに流れたらどうなるか」という 最悪のケース で考える

素因数分解で因数の見落とし（84 = 4 × 21 で止めて、21 = 3 × 7 を分解し忘れる）。桁の問題で繰り上がりを考え忘れる。

例題で確認

例題

A, Bは正の整数で、A ÷ (B × B) = 1/84 が成り立つとき、Bの最小値はいくらか。

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3. 不定方程式

この問題で使う用語と公式

不定方程式とは

$ax + by = c$ の形の方程式で、解が1つに定まらないもの
ただし「x, yは正の整数」という条件がつくと、解の候補が限られる
例: $7x + 3y = 50$ → x, yがともに正の整数になる組み合わせは数個しかない

つるかめ算

「合計個数」と「合計金額」の2つの条件が与えられるタイプでは、つるかめ算で解くこともできる
やり方: 「全部安い方だったら」と仮定 → 実際の合計との差額を、単価の差で割る

こういう問題が出る

「大人700円、小学生300円で合計5000円。それぞれ何人？」のように、1つの式に未知数が2つある方程式（不定方程式）の整数解を求める問題です。

こう考える

方程式を立てる:

ax + by = c

両辺を共通の数で割って簡単にする（例:

700x + 300y = 5000

→

7x + 3y = 50

）

一方の変数について解く:

x = (50 - 3y) \div 7

「

50 - 3y

が7の倍数になる

y

」を探す

正の整数の解を列挙し、追加条件（大小関係など）で絞る

解が複数あるのに、最初に見つけた1つだけで終わりにしてしまう。必ず「追加条件で絞る」ステップを忘れずに。

例題で確認

例題

大人700円、小学生300円の博物館に合計5000円で入場した。大人の人数が小学生より少ないとき、人数の差は何人か。

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4. 余りの問題

この問題で使う用語と公式

余りと不足

「aで割るとr余る」は、「あと (a − r) あれば a で割り切れる」という意味でもある
この「あと何あれば割り切れるか」を「不足」と呼ぶ
- 例:「5で割ると1余る」→ あと4あれば5で割り切れる → 「4不足」
- 例:「8で割ると4余る」→ あと4あれば8で割り切れる → 「4不足」

余りが共通のとき → 最小公倍数 + 共通の余り

不足が共通のとき → 最小公倍数 − 共通の不足

こういう問題が出る

「ある数を5で割ると1余り、8で割ると4余る」のように、複数の割り算の余りの条件から数を特定する問題です。公務員試験では非常によく出ます。

こう考える

鉄則: まず「余り」と「不足」の表を作る

割る数	余り	不足（= 割る数 − 余り）
5	1	4
8	4	4

表を作ったら次のように判定します。

余りが全部同じ → 「最小公倍数 + 余り」
不足が全部同じ → 「最小公倍数 − 不足」
どちらも揃わない → 条件を満たす数を小さい方から列挙して共通する数を探す

不足への読み替えを思いつかず、「余りが違うから解けない」と諦めてしまう。余りの問題を見たら必ず不足の列も書くのがコツです。

例題で確認

例題

ビスケットを5枚ずつ食べると1枚余り、8枚ずつ食べると4枚余る。ビスケットの最小枚数で毎日7枚ずつ食べると最大何日もつか。

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