整数の性質

• 約数: ある整数を割り切れる整数のこと。例えば12の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 倍数: ある整数を何倍かした整数のこと。例えば3の倍数は 3, 6, 9, 12, 15, …
• 公倍数: 2つ以上の整数に共通する倍数のこと。例えば3と4の公倍数は 12, 24, 36, …
• 最小公倍数: 公倍数の中で最も小さいもの。3と4の最小公倍数は12

• 2つの数が互いに素（共通の約数が1だけ）なら → そのままかけ算。例: 3と4 → 3 × 4 = 12
• 互いに素でないなら → 共通部分を1回だけかける。例: 6と8 → 6 = 2 × 3、8 = $2^3$ → 最小公倍数 = $2^3 \times 3 = 24$（6 × 8 = 48 ではないので注意）

「AまたはB」の個数 = Aの個数 + Bの個数 − 「AかつB」の個数

• 素数: 1と自分自身以外に約数を持たない、2以上の整数。2, 3, 5, 7, 11, 13, …
• 素因数分解: 整数を素数の掛け算で表すこと
• やり方: 小さい素数から順番に割っていく
  • 例: 72 → 2で割って36 → 2で割って18 → 2で割って9 → 3で割って3 → $72 = 2^3 \times 3^2$
• よく出る素因数分解: $60 = 2^2 \times 3 \times 5$、$120 = 2^3 \times 3 \times 5$、$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

• 平方数: ある整数を2回かけてできる数（= $n^2$ の形になる数）。1, 4, 9, 16, 25, 36, …
• 平方数かどうかの判定法: 素因数分解したとき、すべての素因数の指数が偶数なら平方数
  • 例: $36 = 2^2 \times 3^2$ → 指数が全部偶数 → 平方数
  • 例: $72 = 2^3 \times 3^2$ → 2の指数が3（奇数）→ 平方数ではない

• $ax + by = c$ の形の方程式で、解が1つに定まらないもの
• ただし「x, yは正の整数」という条件がつくと、解の候補が限られる
• 例: $7x + 3y = 50$ → x, yがともに正の整数になる組み合わせは数個しかない

• 「合計個数」と「合計金額」の2つの条件が与えられるタイプでは、つるかめ算で解くこともできる
• やり方: 「全部安い方だったら」と仮定 → 実際の合計との差額を、単価の差で割る

• 「aで割るとr余る」は、「あと (a − r) あれば a で割り切れる」という意味でもある
• この「あと何あれば割り切れるか」を「不足」と呼ぶ
  • 例:「7で割ると4余る」→ あと3あれば7で割り切れる → 「3不足」
  • 例:「10で割ると7余る」→ あと3あれば10で割り切れる → 「3不足」