立体図形

図のように、底面の半径が 12cm、高さが 18cm の円すいがある。この円すいの内側に、大きい円すいの底面の中心を頂点とし、底面が大きい円すいの底面と平行で、その周が大きい円すいの側面上にあるような、逆向きの小さい円すいを作った。小さい円すいの底面の半径が 8cm であるとき、小さい円すいの体積はいくらか。ただし、円周率はπとする。

高さが $h$ の円すいを、底面に平行な平面で切断したところ、頂点を含む小さい円すいの体積は、切断する前の円すいの体積の $\frac{1}{64}$ になった。このとき、残った円すい台の高さを $h$ を用いて表したものとして正しいのはどれか。

底面の半径が 9cm、高さが 18cm の円すいがある。この円すいを底面に平行な平面で切断したところ、頂点を含む小さい円すいの高さは 12cm になった。このとき、残った円すい台の体積はいくらか。ただし、円周率はπとする。

底面に平行な平面で正四角すいを切断し、頂点を含む小さい正四角すいと、残った角すい台の2つに分けた。小さい正四角すいの体積が、切断する前の正四角すいの体積の $\frac{1}{27}$ であったとき、角すい台の側面積は、切断する前の正四角すいの側面積の何倍か。

図のように、底面が縦 27cm・横 20cm の長方形である直方体の水そうに、水が 12cm の高さまで入っている。この水そうに、四角柱のおもりを、底面を水平に保ったまま、まっすぐ下ろして底に着くまで沈めたところ、水面の高さは 18cm になり、おもりの上部は水面から出ていた。このおもりの底面積として正しいのはどれか。ただし、水そうの厚さは考えないものとする。

文具や小物を分けて入れる、四角い整理ケースが2つある。2つはまったく同じ形で、真上から見ると正方形、口が広く底が狭く、側面はまっすぐ傾いている。**上部の外側の一辺は75mm、底の外側の一辺は50mm、高さは80mm** である。側面には厚みがあり、**その厚さは、水平にはかるとどの高さでも5mm** である。 図は、この整理ケースを1つだけななめ上から見たもので、口のふちのところに壁の厚みが帯として示してある。 さて、一方を、もう一方の中へ静かに落とし込む。ケースはとちゅうで動かなくなるが、**そこで止まったとき、上のケースの底面は、下のケースの底面から何mmの高さにあるか。** ただし底の厚みは考えないものとし、どちらのケースも、内側の底面と外側の底面は同じ高さにあるものとしてよい。

ある円柱を、底面に対して斜めに1回切断し、2つの立体 P と Q に分けた。図のように、P と Q を切断面が上になるように置いたところ、最も高い部分の高さは P が 35cm、Q が 50cm であった。また、P と Q の体積の比は 2 : 3 であった。このとき、P の下面の中心から切断面の中央までの長さと、Q の下面の中心から切断面の中央までの長さの和として正しいのはどれか。ただし、図は正確ではない。

図のように、半径 15cm の球が円すい台に内接している。すなわち、球は円すい台の上底、下底、側面のすべてに接している。上底の半径が 9cm であるとき、下底の半径として正しいのはどれか。