5分でわかる生産要素の投入

生産要素の投入とは・等産出量曲線と等費用線

先に読む論点費用と供給効用最大化

• 限界生産物（MP）（限界生産力とも呼びます）：その要素を1単位増やしたとき、生産量が増える分です。労働なら $MP_L$、資本なら $MP_K$ と書きます。
• 等産出量曲線（等量曲線とも呼びます）：同じ生産量をつくれる労働と資本の組を結んだ曲線です。
• 等費用線：同じ費用で使える労働と資本の組を結んだ直線です。
• 賃金を $w$、資本1単位を借りる値段（レンタル価格）を $r$、生産物の価格を $P$、生産量を $Q$ と書きます（泉の問題では生産量を $Y$ と書いています）。

この図の企業は、生産関数（労働と資本の量から生産量を決める式）が $Q=\sqrt{2LK}$、賃金2円、レンタル価格4円です。このページでは「基本の企業」と呼び、各タイプの例で使います。

試験での出方

国家総合職・国家一般職・国税専門官・地方上級で出ています。要素の量・生産量・費用を出す計算が中心で、等産出量曲線の図を読む正誤問題も出ます。

よく出るタイプ

生産要素の投入の問題は、次の3つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1等産出量曲線の読み方図の正誤。曲線の傾きの読み方と、投入を2倍にしたとき生産量が何倍か→
• タイプ2利潤を最大にする要素の量生産物の価格と賃金から、労働の量を出す→
• タイプ3費用を最小にする要素の量費用か生産量を与えて、最適な組を出す→

等産出量曲線と等費用線のグラフ（費用最小の点）

図の見方

• 横軸が労働、縦軸が資本の量です。右へ行くほど労働を、上へ行くほど資本を多く使います。
• 等産出量曲線は右上にあるほど生産量が多く、曲線どうしは交わりません（交わると、交点の1つの組に2つの生産量が対応してしまうため）。原点に向かってふくらんだ形（原点に凸）です。
• 等費用線 $wL+rK=C$（$C$ は費用）は、資本だけに使えば $C \div r$ 単位、労働だけに使えば $C \div w$ 単位なので、縦軸と $C \div r$、横軸と $C \div w$ で交わる直線です。傾きの大きさは縦の切片 ÷ 横の切片で $w \div r$、基本の企業では $2 \div 4 = 0.5$ です。費用が小さいほど下にあります。
• 費用32円の線は、8個の曲線に点E（労働8・資本4）で接します。費用40円の線は曲線を点F・点Gで横切っていて、まだ費用を下げられます。

技術的限界代替率（MRTS）は、生産量を変えずに労働を1単位増やすとき、減らせる資本の量です。労働を1単位増やすと生産量は $MP_L$ 増え、資本を1単位減らすと $MP_K$ 減るので、打ち消すのに減らせる資本は $MP_L \div MP_K$ 単位です。これが等産出量曲線の接線の傾きの大きさにあたります。点Eの接線は32円の線そのものなので、点Eの技術的限界代替率は0.5です。

消費者の論点（効用最大化）と同じ形の図です。そちらでは、同じ満足（効用）を得られる2つの財の組を結んだ曲線を無差別曲線、所得で買える組の境目の線を予算線と呼びます。言葉を入れ替えれば、考え方はそのまま使えます（効用最大化をまだ読んでいなければ、この表は飛ばしてかまいません）。

違うのは最後の行だけです。

等産出量曲線とは・技術的限界代替率の読み方

見分け方：問題文が「図は、ある企業の等産出量曲線を描いたものである」で始まり、点の名前・接線・原点を通る直線が描かれた図について、記述の正誤を聞きます。

規模に関する収穫は、労働と資本をすべて同じ倍率で増やしたとき、生産量が何倍になるかです。生産量の倍率のほうが大きければ収穫逓増、同じなら収穫一定、小さければ収穫逓減です。生産関数がコブ＝ダグラス型（$Q=AL^aK^b$ の形。$A$・$a$・$b$ は正の数）なら、指数の和 $a+b$ が1より大きいと逓増、1なら一定、1より小さいと逓減です。

等産出量曲線の例題

利潤を最大にする要素投入量の求め方

見分け方：「生産物の価格は5円、賃金は10円」のように価格がそろっていて、「利潤を最大にするときの労働投入量（生産量・利潤）」を聞きます。企業は完全競争（価格を与えられたものとして行動する）です。

言葉では「限界生産物 × 生産物の価格 ＝ 要素の価格」です（左辺を限界生産物価値と呼びます）。使える条件：生産物の市場も要素の市場も完全競争で、限界生産物が逓減するとき。労働と資本をともに動かすときは、さらに規模に関して収穫逓減（コブ＝ダグラス型なら指数の和が1より小さい）のときです。$MP_L = w \div P$ と書いても同じです。

限界生産物は、生産関数をその要素で微分して出します。微分はべき乗の微分（$x^n$ を微分すると $nx^{n-1}$）だけを使います。$Q=20\sqrt{L}=20L^{\frac{1}{2}}$ なら、指数 $\frac{1}{2}$ を前に出して指数を1減らし、$MP_L = 20 \times \frac{1}{2}L^{-\frac{1}{2}}$ です。$L^{-\frac{1}{2}}$ は $\dfrac{1}{\sqrt{L}}$ のことなので、$MP_L = \dfrac{10}{\sqrt{L}}$ です。要素が2つの式では、もう一方の要素を数として扱います。コブ＝ダグラス型 $Q=AL^aK^b$ を $L$ で微分すると $aAL^{a-1}K^b$ で、$L^{a-1}$ は $L^a \div L$ なので $MP_L = a \times \dfrac{Q}{L}$ と書けます。資本も同じで $MP_K = b \times \dfrac{Q}{K}$ です。

利潤最大の要素投入の例題

費用最小化の条件と最適な要素投入量の求め方

見分け方：「7,000円の費用で生産量を最大にする」か「500個を最小の費用で生産する」のように、費用か生産量のどちらかが決まっています。生産物の価格は出てきません。

かっこの中の形（$\dfrac{MP_L}{w} = \dfrac{MP_K}{r}$）は、「要素に払う1円あたりの限界生産物が、労働と資本で等しい」という意味です。使える条件：等産出量曲線が原点に凸で、等費用線との接点が軸の上ではない（労働も資本も0ではない）とき。費用を決めて生産量を最大にするときも、生産量を決めて費用を最小にするときも、同じ式です。

導き方：条件式 $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{K}{L} = \dfrac{w}{r}$ を変形すると $\dfrac{wL}{rK} = \dfrac{a}{b}$ です。左辺は労働への支出 ÷ 資本への支出なので、支出の比は指数の比 $a:b$ になり、要素価格が変わっても割合は同じです。

使える条件：生産関数が $Q=AL^aK^b$ の形のときだけ。支出を量に直すときは、その要素自身の価格で割ります。$Q=\sqrt{L}+\sqrt{K}$ のような足し算の形では使えないので、上の条件式から $K$ と $L$ の関係を出します。

費用最小化の例題

覚えることの表（生産要素の投入の条件）

生産物の市場も要素の市場も完全競争（企業は価格を与えられたものとして行動する）の場合です。

よくある間違い