3分でわかる平面分割の解き方

平面分割とは・公式

領域は、線で区切られた1つ1つの部分のことです。たとえば直線を5本、どの2本も平行でなく、3本以上が1点で交わらないように引くと、領域は16個になります（タイプ1で確かめます）。

試験での出方（平面分割の問題）

東京都・特別区・市役所で出ている単元です。公式を知っていれば1分ほどで解ける問題が多く、出たら取りたい単元です。

よく出るタイプ

平面分割の問題は、次の2つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1直線で分けた領域の個数直線を何本か引いて、分かれた部分を数える→
• タイプ2対角線が通過するタイルの枚数しきつめたタイルを、対角線が何枚通るか→

タイプ1の「交わる点の数＋1」という考え方が、タイプ2の公式の出どころにもなります。タイプ1から順に読むのがおすすめです。

平面分割の解き方（直線で分けた領域の個数）

見分け方：問題文に「直線を6本引く」のような本数と、「部分の個数が最も多くなるように」「最も少なくなるように」と書いてあることが多いです。分けるものが円でも正方形の紙でも平面でも、解き方は同じです。

例で確かめる4本目を引くと、領域はいくつ増えるか

長方形の紙に、どの2本も平行でなく、3本が1点で交わらないように直線が3本引いてあり、紙は7個に分かれています。ここに4本目を、3本すべてと別々の点で交わるように引きます。

4本目の4つの区間が、それぞれ通り抜けた領域を2つに分けるので、領域は4個増えて $7 + 4 = 11$ 個です。

1本目からこれをくり返すと、次の表になります（どの線も、それまでのすべての線と別々の点で交わるように引いた場合）。

本数	新しい線が交わる点の数	増える領域	合計
1本目	0	1	2
2本目	1	2	4
3本目	2	3	7
4本目	3	4	11
5本目	4	5	16

たとえば5本目は、それまでの4本と1回ずつ交わるので、交わる点は4つ、増えるのは5個です。同じように、何本目かの数だけ領域が増えます（$k$ 本目なら $k$ 個）。

$n$ 本の合計は、はじめの1個に $1 + 2 + \cdots + n$ を足した数です。1から $n$ までを足した和は $\dfrac{n(n+1)}{2}$ で求められます（5本なら $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = \dfrac{5 \times 6}{2} = 15$）。なので $n$ 本の合計は $1 + \dfrac{n(n+1)}{2}$ で、5本なら $1 + 15 = 16$ 個です。

平面分割の解き方（対角線が通過するタイルの枚数）

見分け方：問題文に「長方形のタイルをすき間なくしきつめた」「対角線に沿ってまっすぐに線を引く（ひもを張る）」と書いてあり、通過するタイルか、通過しないタイルの枚数を聞かれます。タイルの数ではなく、長さ（m・cm）で書いてあることもあります。

例で確かめる縦4枚・横10枚のタイル

床に、縦4枚・横10枚のタイルがしきつめてあります。左下の角から右上の角へ対角線を引くと、何枚のタイルを通るでしょうか。

対角線は左下のタイルから入り、タイルの境目をまたぐたびに次のタイルに移ります。タイプ1と同じで、通るタイルは「境目をまたぐ回数＋1」枚です。

• 縦の境目（タイルとタイルの間の縦の線）は、横に10枚並ぶので $10 - 1 = 9$ 本、横の境目は $4 - 1 = 3$ 本です。別々にまたげば $9 + 3 = 12$ 回です。
• 赤い丸はタイルの角で、ここでは縦と横の境目を同時にまたぎます。移る先は斜め向こうの1枚だけなので、またぐ回数は1回少ない11回です。赤い丸の左上と右下のタイルは、角で接しているだけで中を通っていないので、通ったタイルには数えません。
• 通るタイルは $11 + 1 = 12$ 枚です。

縦4：横10＝2：5なので、対角線は横に5枚・縦に2枚進むごとにちょうどタイルの角に来ます。4と10の最大公約数は2なので、角に来るのは真ん中と右上の端の2回です。右上の端は床の角（ゴール）なので境目ではありません。途中で角を通るのは、最大公約数より1少ない $2 - 1 = 1$ 回です。まとめると $1 + (10 - 1) + (4 - 1) - (2 - 1)$ となり、公式に入れた 4＋10−2＝12 枚と同じです。

自分で解いてみる平面分割の例題2（対角線が通過するタイルの枚数）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

縦2.7m、横7.5mの長方形の床に、縦30cm、横50cmの長方形のタイルを、向きをそろえてすき間なくしきつめた。この床の対角線に沿ってまっすぐに線を1本引くとき、線が通過するタイルは何枚か。ただし、線がタイルの内部を通るとき、そのタイルを通過したものとする。

118枚221枚323枚424枚5114枚

答えと解説を見る

よくある間違い

先頭の1を足し忘れる

5本で最も多く分けると $1 + 15 = 16$ 個です。$\dfrac{5 \times 6}{2} = 15$ で止めると1個足りません。1は、線を引く前の1枚の分です。

3本が1点で交わる引き方を「最も多い」と思う

2本の直線で、紙は4個に分かれています。3本目を、1本目と2本目が交わる点に通すと、交わる点は1つだけです。増えるのは $1 + 1 = 2$ 個で、$4 + 2 = 6$ 個です。別々の点で交われば、交わる点は2つで $2 + 1 = 3$ 個増え、$4 + 3 = 7$ 個になります。

交わる点の数に1を足して、領域の数にしてしまう

5本の直線の交わる点は全部で10個ですが、領域は11個ではなく16個です。全部の交わる点ではなく、1本ずつ「新しい線が交わる点の数＋1」を足していきます。

最大公約数を引き忘れる・最大公約数の代わりに1を引く

縦4枚・横10枚なら、通るのは12枚です。最大公約数の2を引き忘れると14枚、1を引くと13枚になります。1を引いてよいのは、縦と横の最大公約数が1のときだけです。

長さのまま公式に入れる・通過しない枚数と取り違える

mやcmで書いてあれば、先に枚数に直します。「通過しない」を聞かれたら、全部の枚数から引きます（縦4枚・横10枚なら $40 - 12 = 28$ 枚）。

時間と捨てる判断

• どちらのタイプも、公式を知っていれば1分ほどで解ける問題が多いです。取りにいきたい単元です。
• 通過した枚数から横の枚数を逆に求める問題は、選択肢を1つずつ公式に入れて確かめると速いことがあります。
• 線の引き方に細かい条件が付いていて、表がすぐに作れない問題は時間がかかります。3分ほどで見通しが立たなければ、後回しにする手もあります。