速さ・旅人算

この分野で最も大切な公式は次の3つです。どれも同じ関係を形を変えて表したものです。

• 距離 ＝ 速さ × 時間
• 速さ ＝ 距離 ÷ 時間
• 時間 ＝ 距離 ÷ 速さ

• 分速: 1分あたりに進む距離（例: 分速60m → 1分で60m進む）
• 時速: 1時間あたりに進む距離（例: 時速4km → 1時間で4km進む）
• 速さが「分速」なら時間は「分」、速さが「時速」なら時間は「時間」で統一してください。混ぜると計算が合わなくなります

行きと帰りの距離は同じなので、片道の距離をLとおくと

• 行きにかかる時間 ＝ $\frac{L}{\text{行きの速さ}}$
• 帰りにかかる時間 ＝ $\frac{L}{\text{帰りの速さ}}$
• 行き＋帰り ＝ 往復の移動時間

この方程式をLについて解きます。

2人が同じ方向に進んでいて、速い人が遅い人に追いつく問題です。

• 追いつくまでの時間 ＝ 2人の距離 ÷ 速さの差

なぜこうなるかというと、1分ごとに「速さの差」の分だけ距離が縮まるからです。例えば、分速120mの人が分速90mの人を追いかければ、1分で30mずつ差が縮まります。

2人が向かい合って進むときは、1分ごとに「速さの和」の分だけ距離が縮まります。

この2つは必ずセットで覚えてください。混同が最も多いミスです。

• 同じ方向 → 差で割る
• 向かい合う → 和で割る

• 向かい合って進む2人がすれ違うまでの時間 ＝ 距離 ÷ 速さの和
• 出発時刻にずれがある場合は、後から出発した人が出発した時点での2人の距離を求めてから公式を使います

上級レベルでは、「すれ違った後にAがゴールまで $T_1$ 分かかり、Bが $T_2$ 分かかった」という情報から、すれ違った時刻を逆算する問題が出ます。この場合は次の原理を使います。

• 速さが一定なら、かかった時間の比 ＝ 距離の比

この関係を2通りの式で表して比例式を作り、方程式を解きます。

これがこのタイプの核心です。同じ距離を移動する場合、速さが2倍になればかかる時間は半分、速さが3倍になれば時間は $\frac{1}{3}$ です。

• 速さの比が A : B なら → 時間の比は B : A（逆比）

例えば、速さの比が 3 : 2 なら、時間の比は 2 : 3 です。速い方が短い時間で着く、と確認すれば逆比を間違えません。

• 「帰りの速さは行きの $\frac{3}{4}$ 倍」→ 基準は行き。帰りは行きより遅い
• 「自転車の速さは徒歩の3倍」→ 基準は徒歩。自転車は3倍速い → 時間は $\frac{1}{3}$

1周Lmの周回コースで2人が走る場合、注目するのは1周ごとの位置の変化量（余り距離）です。

• Aが1周する間にBが進む距離を求める
• そこから整数周分を引いた余りが、「1周ごとにBが進む余分な距離」
• この余り距離を周回ごとに積み重ねて、条件を満たす位置になる最小周回数を求める

バスや電車がN台で一定間隔で往復している場合、次の手順で解きます。

• 1台のサイクル時間 ＝ 台数 × 出発間隔
• 走行時間 ＝ サイクル時間 − 停車時間の合計
• 片道の所要時間 ＝ 走行時間 ÷ 2
• 速さ ＝ 距離 ÷ 片道の所要時間