方程式の文章題

1. 求めるもの（または全体量）をxとおく
2. 問題文の条件を、xを使った式に変換する
3. 「合計 = ◯」「A = B」などの関係を等式にする
4. 方程式を解く

例: 「1個150円のりんごをx個買って、送料200円を加えたら合計1100円だった」

→ $150x + 200 = 1100$ → $150x = 900$ → $x = 6$（個）

未知数が2つ以上ある場合は、未知数の数と同じ数の方程式が必要です。

• 代入法: 1つの式をx = …の形にして、別の式に代入する
• 加減法: 2つの式を足したり引いたりして、1つの変数を消す

例: $x + y = 10$ …① かつ $3x - y = 14$ …②

→ ①+②: $4x = 24$ → $x = 6$、$y = 4$

「2つの数の和」と「2つの数の差」が分かっているとき、一瞬で解ける公式です。

• $A + B = S$（和）、$A - B = D$（差）のとき
• $A = \frac{S + D}{2}$、$B = \frac{S - D}{2}$

例: 2つの数の和が170、差が44のとき → 大きい方 = $\frac{170 + 44}{2} = 107$、小さい方 = $\frac{170 - 44}{2} = 63$

• 「1人にN個ずつ配るとP個余り、M個ずつ配るとQ個足りない」のように、2通りの配り方の結果から全体量と人数を求める問題
• 「余る」→ ＋（プラス）、「足りない」→ −（マイナス）で式を立てる
• 全体量はどちらの配り方でも同じなので、等式が立てられる

例: 1人3冊ずつ配ると10冊余り、5冊ずつ配ると6冊足りないとき

• 3冊ずつ: 全体 = $3x + 10$
• 5冊ずつ: 全体 = $5x - 6$
• $3x + 10 = 5x - 6$ → $x = 8$（人）

• 全体量（総距離、総ページ数、全体の個数など）をxとおく
• 各部分が「全体の $\frac{1}{a}$ よりP多い（少ない）」のような形で与えられる
• 各部分の合計 = 全体量（= x）という方程式を立てる

• 「全体の $\frac{1}{b}$」と「残りの $\frac{1}{b}$」は全くの別物
• 残り = 全体 − 前の部分。まず「残り」をxで表してから $\frac{1}{b}$ を計算する

• 分母が2, 3, 4なら最小公倍数は12。両辺に12をかけて分数を消す
• よく使う最小公倍数:（2,3,4）→12、（2,3,6）→6、（3,4,6）→12、（2,5,10）→10

• 月額や単価が異なる2つのプラン（積立プラン、料金プランなど）があるとき、総額が等しくなるのは何か月目（何個目）かを求める問題
• 開始時期や初期費用に差がある場合、その「先行分」を式に含めるのがポイント

• プランAの総額 = プランBの総額 という等式を立てる
• 「$x$ か月目に等しくなる」とおいて、各プランの総額を $x$ の式で表す

• N人の得点や金額について、「合計」「差」「平均」「倍数関係」など複数の条件が与えられ、連立方程式で各人の値を求める問題
• 条件が多くて一見複雑だが、戦略的に解く順番を決めれば段階的に値が確定していく

• $A + B = S$（和）、$A - B = D$（差）のとき
• $A = \frac{S + D}{2}$、$B = \frac{S - D}{2}$
• 合計と部分平均から2人の和を求め、差と組み合わせて一気に解けることが多い

• 時間が経過すると、全員の年齢が同じだけ増える
• つまり、年齢の「差」は永久に変わらない（親子の年齢差は一生同じ）
• 一方、年齢の「比」は時間とともに変わる

• 「T年前のAとBの年齢の比が $p : q$」→ T年前の年齢を $px$、$qx$ とおく
• 現在の年齢は $px + T$、$qx + T$

• $a : b = c : d$ のとき、$ad = bc$
• 例: $(5x + 12) : (3x + 12) = 4 : 3$ → $3(5x + 12) = 4(3x + 12)$

• てんびんが釣り合っている = 左皿の合計重量 = 右皿の合計重量
• 各てんびんから1本の方程式が得られる
• 物体が3種類なら3つのてんびん（= 3本の方程式）で3元連立方程式を解く

• 代入法が基本。1つの式から「x = …」の形を作り、他の式に代入して変数を減らす
• 3元 → 2元 → 1元と段階的に減らしていくのがコツ

• 等式と不等式の条件を組み合わせて、まず変数の候補を数個に絞り込み、さらに追加条件（倍数、偶奇など）で解を1つに確定する問題

• $P < Q < R$ の形の連立不等式は、「$P < Q$」と「$Q < R$」の2つに分けてそれぞれ解く
• まとめて処理しようとすると混乱する。必ず分解する

• 不等式で範囲を求めたら、その範囲にある整数を全て列挙する
• 列挙した候補を、追加条件（倍数、割り切れなど）で1つに絞る