【N進法】解き方とコツ｜例題・練習問題つき

N進法とは・位取りのしくみ

30秒でわかるN進法

ふだん使っている数は10進法です。10集まると1つ上の位に繰り上がるので、位は右から1の位・10の位・100の位……と、左へ1つ進むごとに10倍になります。N進法は、これを「N集まると繰り上がる」に変えた数の書き方で、位は右から1、N、N×N……と、左へ1つ進むごとにN倍になります。

使える数字

N進法で使える数字は 0〜N-1 のN個だけ（5進法なら0・1・2・3・4）

N進法 → 10進法

各位の数字に 位の重み （その位の1つが表す大きさ）を掛けて足す

10進法 → N進法

Nで割り続け、 最後の商を先頭に 、余りを 後に出たものから順に 並べる

	25の位	5の位	1の位	合計
重み	25	5	1
数字	4	1	2
掛けた値	100	5	2	107

5進法の412は、25の位が4つ、5の位が1つ、1の位が2つなので、10進法の107です

10進法の3507なら、 $3 \times 1000 + 5 \times 100 + 0 \times 10 + 7 \times 1$ です。N進法も同じ形で、重みの1000・100・10・1が、Nを何回か掛けた数に変わるだけです。このページでは、5進法で書いた412を $412_{(5)}$ と書くことがあります。何も付けない数は10進法です。

位の重み（右から）

1,\ N,\ N^2,\ N^3,\ \dots

このページでは、位を右から数えて「1けた目・2けた目…」とも呼びます。5進法なら、3けた目が25の位、2けた目が5の位、1けた目が1の位です。

進法	4けた目	3けた目	2けた目	1けた目
10進法	1000	100	10	1
2進法	8	4	2	1
3進法	27	9	3	1
5進法	125	25	5	1

11進法以上では、1けたで10や11を表す必要があるので、10をA、11をB…のように文字1つで書きます。たとえば12進法の1Aは $1 \times 12 + 10 = 22$ です。

N進法から10進法への直し方

位ごとに「数字 × 重み」を出して足します。2進法の10110なら、重みは左から16・8・4・2・1です。

位	重み	数字	掛けた値
5けた目	16	1	16
4けた目	8	0	0
3けた目	4	1	4
2けた目	2	1	2
1けた目	1	0	0
合計			22

$10110_{(2)} = 16 + 4 + 2 = 22$ です。

10進法からN進法への直し方

Nで割って、余りを書き出すことをくり返します。割った答え（商）がNより小さくなったら止めます。商がNと同じか大きいうちは、まだ割ります。止めたら、最後の商を一番上の位に置き、そこから余りを後に出たものから順に並べます。107を5進法に直します。

107を5で割り続ける

	割り算	商	余り
1回目
2回目
最後の商

1回目：107÷5
2回目：21÷5
最後の商：2回目の商4を一番下の行に書き写す

読む順：最後の商4 → 2回目の余り1 → 1回目の余り2（表の左下から、余りの列を上へ）

確かめると $4 \times 25 + 1 \times 5 + 2 = 107$ で、もとの数に戻ります。最初に出た余りが1の位になるのは、107を5ずつのまとまりに分けたときに、まとまりにならずに残った端数だからです。21個できた5のまとまりを、さらに5つずつ（25ずつ）まとめたときの端数1が、5の位になります。

試験での出方

受験先ごとの出やすさ（泉の集計による参考値）
国家総合職	★☆☆	国家専門職	★☆☆
地方上級	★☆☆	東京都	★☆☆
特別区	★☆☆	国家一般職	—ほぼ出ていない
市役所	—ほぼ出ていない

出る受験先は限られますが、直し方の2つの手順を知っていれば機械的に解ける単元です。手順さえ覚えれば、短い時間で取れる問題になります。

よく出るタイプ

N進法の問題は、次の3つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

タイプ1異なるN進法の四則演算2つの数の和・差・積を、別の進法で書く
タイプ2複数N進法の複合演算和をとってから割った余りを、別の進法で書く
タイプ3N進法の覆面算数字が文字で伏せてあり、並びの条件から決める

タイプ1異なるN進法の四則演算

N進法の解き方（異なるN進法の四則演算）

見分け方：問題文に「4進法で表された213」「6進法で表された52」のように、違う進法の数が2つ（片方が10進法のこともあります）出てきて、「和（差・積）を3進法で表した数はどれか」と、さらに別の進法で答えを聞かれます。

解き方の手順

1
すべて10進法に直す
それぞれの数を、その数の進法の重みで10進法に直します。どの数が何進法かを1つずつ確かめます。
2
10進法で計算する
足す・引く・掛けるは、10進法に直してから行います。違う進法のまま計算しません。
3
答えの進法に直す
答えの進法の数で割り続け、最後の商を先頭に、余りを後に出たものから順に並べます。
4
選択肢を確かめる
答えの進法で使えない数字（5進法なら5〜9）が入った選択肢は、計算しなくても消せます。

例で確かめる3進法の2102と6進法の45の和を7進法で

3進法で表された2102と、6進法で表された45の和を、7進法で表します。

数	位ごとの計算	10進法
3進法の2102	$2 \times 27 + 1 \times 9 + 0 \times 3 + 2 \times 1$	65
6進法の45	$4 \times 6 + 5 \times 1$	29
和	$65 + 29$	94

94を7で割り続けます。

94を7で割り続ける

	割り算	商	余り
1回目
2回目
最後の商

1回目：94÷7
2回目：13÷7
最後の商：2回目の商1を一番下の行に書き写す

読む順：最後の商1 → 2回目の余り6 → 1回目の余り3

確かめ： $1 \times 49 + 6 \times 7 + 3 = 94$ です。

N進法の問題：異なる進法の差

自分で解いてみるN進法の例題1（異なるN進法の四則演算）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

6進法で表された422と、8進法で表された102の差を、5進法で表した数はどれか。

正解は 5

6進法の重みは36・6・1なので、 $422_{(6)} = 4 \times 36 + 2 \times 6 + 2 = 158$ です。8進法の重みは64・8・1なので、 $102_{(8)} = 1 \times 64 + 0 \times 8 + 2 = 66$ です。差は $158 - 66 = 92$ です。

92を5で割ると商18・余り2です。商の18は5より大きいので、もう一度5で割ると商3・余り3です。3は5より小さいので止め、最後の商3から並べて332です（確かめ： $3 \times 25 + 3 \times 5 + 2 = 92$ ）。

92は10進法のまま答えた値で、5進法では使えない9が入っているので、すぐに消せます。233は余りを先に出た順に読んだ値です。320は、進法を気にせず $422 - 102$ をそのまま引いた値です。134は、3けた目の重みを $6 \times 6 = 36$ ではなく $6 \times 2 = 12$ 、 $8 \times 8 = 64$ ではなく $8 \times 2 = 16$ とした値です。このとき $4 \times 12 + 2 \times 6 + 2 = 62$ 、 $1 \times 16 + 0 \times 8 + 2 = 18$ で、差の44を5進法にすると134になります。

92を5で割り続ける

	割り算	商	余り
1回目	92÷5	18	2
2回目	18÷5	3	3
最後の商		3

読む順：最後の商3 → 2回目の余り3 → 1回目の余り2

このタイプの問題を解く（2つの数の和）このタイプの問題を解く（2つの数の差）このタイプの問題を解く（2つの数の積）

タイプ2複数N進法の複合演算

N進法の問題の解き方（複数N進法の複合演算）

見分け方：問題文に「〜と〜の和を、5進法で表された13で割った余り」のように、計算が2段以上書いてあります。割る数も別の進法で書いてあることが多く、最後に「余りを2進法で書く」のように、さらに別の進法で聞かれます。

解き方の手順

1
割る数も含めて、すべて10進法に直す
足す数だけでなく、割る数（5進法の13など）も10進法に直します。ここを忘れやすい問題です。
2
書いてある順に10進法で計算する
和を出し、それを割る数で割って、商と余りを出します。
3
聞かれているものを選ぶ
聞かれているのが余りか商かを確かめます。
4
最後に答えの進法に直す
10進法で出た余りを、答えの進法で割り続けて書き直します。

例で確かめる和を5進法の13で割った余りを2進法で

4進法の211と6進法の104の和を、5進法の13で割った余りを、2進法で表します。

段ごとに計算する（2進法と書いた値のほかは10進法）

	計算	値
4進法の211
6進法の104
和
5進法の13
割った余り
2進法で書く

3つの数：10進法に直す
和と余り：和を8で割る
2進法：余りの5を直す

確かめると、2進法の101は $1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 = 5$ で、余りの5に戻ります。

N進法の問題：和を割った余り

自分で解いてみるN進法の例題2（複数N進法の複合演算）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

6進法で表された424と、2進法で表された101100の和を、7進法で表された52で割った余りを、4進法で表した数はどれか。

正解は 3

$424_{(6)} = 4 \times 36 + 2 \times 6 + 4 = 160$ 、 $101100_{(2)} = 32 + 8 + 4 = 44$ で、和は $160 + 44 = 204$ です。割る数は $52_{(7)} = 5 \times 7 + 2 = 37$ です。

$204 \div 37$ は商5、余り19です（ $37 \times 5 = 185$ 、 $204 - 185 = 19$ ）。19を4で割ると商4・余り3です。商の4は4より小さくないので、もう一度4で割ると商1・余り0です。1は4より小さいので止め、最後の商1から並べて103です。

19は余りを4進法に直し忘れた値で、4進法では使えない9が入っています。300は、割る数の52を10進法の52のまま割ったとき（余り48）の値です。11は余りではなく商の5を4進法にした値、301は余りの19を4進法に直すときに、余りを先に出た順に読んだ値です。

段ごとの値（最後の行だけ4進法）

	値
6進法の424	160
2進法の101100	44
和	204
7進法の52	37
割った余り	19
4進法で書く	103（4進法）

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（和を7で割った余り）

タイプ3N進法の覆面算

N進法の覆面算の解き方

数字を文字で伏せた計算を覆面算といいます。

見分け方：数字が a・b・c のような文字で伏せてあり、問題文に「5進法で書くと上の位から a、b、c」「別の進法で書くと逆の順に並んだ」のように、数字の並び方の条件が書いてあります。

解き方の手順

1
文字のまま10進法の式にする
位の重みを掛けて、「5進法の abc」なら $25a + 5b + c$ のように書きます。
2
同じ数どうしを等号で結ぶ
同じ数を2通りの進法で書いたものどうしを、10進法の式にして「＝」で結びます。「2倍すると数字が逆に並ぶ」のような問題では、「もとの数の式の2倍＝逆に並んだ数の式」とします。
3
文字を片側に集めて整える
同じ文字をまとめ、共通の数で割って、係数（文字に掛かっている数）を小さくします。
4
使える数字の範囲で当てはめる
文字に入るのは、その進法で使える数字（0〜N−1）だけです。一番上の位は0になりません。この範囲で候補を当てはめます。
5
10進法で確かめる
見つかった数字で、両方の書き方が同じ数になるかを確かめます。

例で確かめる4進法と7進法で数字が逆に並ぶ数

ある数を4進法で書くと2けたで、7進法で書くと同じ2つの数字が逆の順に並びます。4進法で書いたときの上の位の数字を $a$ 、1の位の数字を $b$ とおきます。

4進法の「 $a\,b$ 」は $4a + b$ 、7進法の「 $b\,a$ 」は $7b + a$ です。
同じ数なので $4a + b = 7b + a$ で、 $a$ を左、 $b$ を右に集めて $3a = 6b$ 、両方を3で割って $a = 2b$ です。
4進法の数字なので $a$ と $b$ は0〜3。 $a$ は4進法の、 $b$ は7進法の一番上の位なので、どちらも0ではありません。 $a = 2b$ が3以下になるのは $b = 1$ のときだけで、 $a = 2$ です。

b を1から順に当てはめる（a＝2b）

	a	4進法で使えるか
b＝1	2	使える
b＝2	4	使えない
b＝3	6	使えない

確かめ： $21_{(4)} = 2 \times 4 + 1 = 9$ 、 $12_{(7)} = 1 \times 7 + 2 = 9$ で、どちらも9です。

N進法の問題：並びの条件から数を決める

自分で解いてみるN進法の例題3（N進法の覆面算）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

ある自然数を7進法で表すと3けたで、その数字は上の位から順に a、b、c である。同じ数を8進法で表すと3けたで、数字は上の位から順に c、a、b となる。この自然数を10進法で表したものはどれか。ただし、a、b、c は0〜6の数字で、a≠0、c≠0 とする。

正解は 2

7進法の abc は $49a + 7b + c$ 、8進法の cab は $64c + 8a + b$ です。同じ数なので $49a + 7b + c = 64c + 8a + b$ 、文字を集めて $41a + 6b = 63c$ です。a は7進法の、c は8進法の一番上の位なので、どちらも0ではありません（問題文の a≠0、c≠0 はこのためです）。

$6b$ と $63c$ はどちらも3の倍数なので、 $41a$ も3の倍数です。41は3の倍数ではないので、 $a$ が3の倍数で、0〜6のうち0でないものは3と6です。

$a = 3$ のとき、左側は $b$ が0〜6なので $123$ 〜 $159$ です。この間にある $63c$ は $c = 2$ の126だけで、 $6b = 3$ となり b が整数になりません。 $a = 6$ のとき、左側は $246$ 〜 $282$ で、この間にある $63c$ は $c = 4$ の252だけです。 $6b = 6$ で $b = 1$ です。

この数は $614_{(7)} = 6 \times 49 + 1 \times 7 + 4 = 305$ で、 $461_{(8)} = 4 \times 64 + 6 \times 8 + 1 = 305$ と一致します。

614と461は、7進法・8進法の並びのまま答え、10進法に直し忘れた値です。396は614を8進法として、239は461を7進法として読んだ値で、どちらの数が何進法かを取り違えると選んでしまいます。

a を3の倍数で当てはめる

	41a＋6bの範囲	間にある63c	b
a＝3	123〜159	126（c＝2）	なし（6b＝3）
a＝6	246〜282	252（c＝4）	1

このタイプの問題を解く（2倍すると数字が逆に並ぶ）

まとめ間違いやすい点

よくある間違い

位の重みを「Nの2倍」にしてしまう

5進法の412の3けた目の重みは $5 \times 5 = 25$ です。 $5 \times 2 = 10$ にすると、 $4 \times 10 + 1 \times 5 + 2 = 47$ になってしまいます。正しくは107です。

5進法の412の3けた目の重み

	3けた目の重み	10進法の値
誤り	5の2倍で10	47
正しい	5を2回掛けて25	107

余りを先に出た順に読んでしまう

107を5で割り続けると、余りは2、1の順に出て、最後の商は4です。最初の余り2は1の位なので、並べると412です。先に出た順に読んで214とすると、 $2 \times 25 + 1 \times 5 + 4 = 59$ になり、107に戻りません。

違う進法のまま足してしまう

3進法の21と5進法の13を、そのまま足して34とするのは誤りです。 $21_{(3)} = 7$ 、 $13_{(5)} = 8$ と10進法に直してから足し、15とします。

最後に答えの進法へ戻し忘れる

10進法で出した値をそのまま選ぶ間違いです。選択肢に10進法の値が混ぜてあることがあります。答えの進法で使えない数字（4進法なら4〜9）が入った選択肢は、その場で消せます。割る数を10進法に直し忘れる間違いも、タイプ2でよく起こります。

時間と捨てる判断

四則演算・複合演算は、10進法に直して計算し、答えの進法に戻すだけなので、2〜3分を目安に取りにいきたいタイプです。
選択肢の中に、使えない数字が入ったものがあれば、先に消すと速くなります。また、10進法で出した答えをNで1回割った余りが、答えの1の位の数字です。1の位が違う選択肢も、すぐに消せます（例題1なら92÷5の余りが2なので、1の位が2でない134・233・320は消えます）。
覆面算は、文字の式を立てて範囲で絞るまでに時間がかかることがあります。式が立たなければ、いったん後回しにする手もあります。
迷ったら「まず全部10進法に直す」に戻りましょう。どのタイプでもここから解けます。

次にやること

まず解く「必修」の問題

10進法に直す次の手順で得られる数を3進法で書くと、どうなるか。まず、8進法の数362と5進法…

「N進法」の問題一覧（10問）

先に読む単元

整数の性質の解き方

次に読む単元

覆面算の解き方

4分でわかるN進法の解き方

N進法とは・位取りのしくみ

N進法から10進法への直し方

10進法からN進法への直し方

試験での出方

よく出るタイプ

N進法の解き方（異なるN進法の四則演算）

N進法の問題：異なる進法の差

N進法の問題の解き方（複数N進法の複合演算）

N進法の問題：和を割った余り

N進法の覆面算の解き方

N進法の問題：並びの条件から数を決める

よくある間違い

位の重みを「Nの2倍」にしてしまう

余りを先に出た順に読んでしまう

違う進法のまま足してしまう

最後に答えの進法へ戻し忘れる

時間と捨てる判断

次にやること

一次試験の数的処理対策のあとは面接カード作成・面接対策も
AI で万全に

4分でわかるN進法の解き方

N進法とは・位取りのしくみ

N進法から10進法への直し方

10進法からN進法への直し方

試験での出方

よく出るタイプ

N進法の解き方（異なるN進法の四則演算）

N進法の問題：異なる進法の差

N進法の問題の解き方（複数N進法の複合演算）

N進法の問題：和を割った余り

N進法の覆面算の解き方

N進法の問題：並びの条件から数を決める

よくある間違い

位の重みを「Nの2倍」にしてしまう

余りを先に出た順に読んでしまう

違う進法のまま足してしまう

最後に答えの進法へ戻し忘れる

時間と捨てる判断

次にやること

一次試験の数的処理対策のあとは面接カード作成・面接対策もAI で万全に

一次試験の数的処理対策のあとは面接カード作成・面接対策も
AI で万全に