【図形の計量】解き方とコツ｜例題・練習問題つき

図形の計量とは・面積の公式

30秒でわかる図形の計量

図形の計量は、三角形・円・おうぎ形などを組み合わせた図形の面積や長さを求める問題です。「どの図形に分けるか」を見抜けるかで決まります。

三角形の面積

\text{底辺} \times \text{高さ} \div 2

おうぎ形の面積（r は半径）

\pi r^2 \times \dfrac{\text{中心角}}{360}

相似比と面積比

2:3

おうぎ形は、円を2本の半径で切り取った形です。中心角が90°なら円の $\dfrac{1}{4}$ （四分円）、180°なら半円です。
相似は、形が同じで大きさだけが違うことです。対応する辺の比を相似比といい、面積比は相似比の2乗（同じ数を2回掛けた数）の比です。

一辺2cmの正方形と一辺4cmの正方形。大きい正方形は赤い破線で小さい正方形4つ分に分かれている。面積は4cm²と16cm² — 辺の長さが2倍になると、面積は4倍になります（相似比1:2なら面積比1:4）

答えの選択肢は「 $88 - 8\pi$ 」のように、円周率 $\pi$ を残した形で出ることがほとんどです。

図形の計量の解き方：面積の3つの求め方

求めたい部分（試験の図で斜線や点で塗られた部分。網掛け部分といいます。このページの図では橙で示します）は、たいてい公式1本では出ません。次の3つのどれで作るかを、まず決めます。

求め方	やること
全体から引く（タイプ1）	大きな図形の面積から、いらない部分を引く
等積変形（タイプ2）	底辺と高さを変えずに頂点を動かす
相似比の2乗（タイプ5）	同じ形の図形の面積を、相似比を2乗した比で出す

試験での出方

受験先ごとの出やすさ（泉の集計による参考値）
東京都	★★★	特別区	★★★
国家総合職	★★☆	国家一般職	★★☆
国家専門職	★★☆	地方上級	★☆☆
市役所	★☆☆

東京都・特別区で特によく出る単元です。正方形・円・おうぎ形を組み合わせた網掛け部分の面積や、接する円がよく出ます。

よく出るタイプ

図形の計量の問題は、次の5つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

タイプ1全体から引く正方形・長方形からおうぎ形や三角形を切り取る
タイプ2等積変形・重なりの相殺頂点を動かす・同じ部分を両方に足す
タイプ3接する円円どうし・円と直線が接している
タイプ4分割と方程式辺の長さを x とおいて面積の式を立てる
タイプ5相似比と規則性平行な線・同じ形をずらして重ねる

このほか、泉には次のタイプの問題もあります。

回転・配置の最大最小（長方形の紙を円板にのせて回したとき、見える円の半径）→ 問題を解く
角度の総和（星形の図形の、先端の5つの角の和）→ 問題を解く

タイプ1全体から引く

図形の計量の解き方（全体から引く）

見分け方：問題文に「網掛け部分の面積」「円周率は $\pi$ とする」と書いてあり、図が、正方形や長方形の中におうぎ形・三角形を描いた形です。

解き方の手順

1
全体の図形を決める
網掛け部分をすっぽり囲む、面積の出る図形（長方形など）を「全体」にします。
2
引く部分を公式の形に分ける
網掛けでない部分を、三角形・おうぎ形・半円など、公式で面積が出る形に分けます。
3
全体から引く
全体の面積 − 引く部分の面積の合計。

例で確かめる長方形から四分円を2つ引く

縦6cm・横12cmの長方形ABCDの中に、頂点Bを中心とする半径6cmの四分円と、頂点Cを中心とする半径6cmの四分円を描きました。2つの弧と辺ADに囲まれた部分（橙）の面積を求めます。

縦6cm横12cmの長方形ABCD。BとCを中心とする半径6cmの四分円が灰色で、それぞれ9π。2つの弧と辺ADに囲まれた上の真ん中の部分が橙

全体は長方形で、 $6 \times 12 = 72$ cm² です。
引く部分は四分円2つです。四分円1つは中心角90°なので、 $\pi \times 6^2 \times \dfrac{90}{360} = 9\pi$ cm²。2つで $18\pi$ cm² です。
網掛け部分は $72 - 18\pi$ cm² です。

図形の計量の例題：全体から引く

自分で解いてみる図形の計量の例題1（全体から引く）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、AB＝8cm、BC＝14cmの長方形ABCDがある。辺ABを直径とする半円を長方形の内側に描き、辺BC上にEC＝6cmとなる点Eをとって、DとEを結んだ。網掛け部分（長方形から、半円と三角形DECを除いた部分）の面積はいくらか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

AB8cm、BC14cmの長方形ABCD。辺ABを直径とする半円が内側にあり、辺BC上の点EとDが結ばれている。EC6cm。半円と三角形DECを除いた部分が橙

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（正方形から四分円を引く）

タイプ2等積変形・重なりの相殺

図形の計量の解き方（等積変形・重なりの相殺）

見分け方：網掛け部分がいびつな形です。問題文に「弧を等分する点」「平行」や、「アとイの面積が等しい」と書いてあることが多いです。

三角形は底辺と高さが同じなら面積が同じなので、頂点を底辺と平行に動かしても面積は変わりません。これを等積変形といいます。

解き方の手順

1
平行な線を探す
三角形の頂点が底辺と平行な線の上にあれば、その線の上で計算しやすい点（円の中心など）まで頂点を動かします。
2
同じ部分を足して比べる
「アとイの面積が等しい」とあれば、両方に同じ部分を足します。差は変わらないので、足した後の大きな図形どうしも面積が等しくなります（同じものを足して打ち消すので、重なりの相殺といいます）。
3
公式の形にして計算する
動かした後・足した後の図形（おうぎ形・半円・三角形）の面積を公式で出します。

例で確かめる半円の中の三角形を、おうぎ形に変える

半径8cmの半円（中心O、直径AB）の弧を4等分する点を、Aの側からC、D、Eとし、直径AB上にBP＝3cmの点Pをとります。線分PC・PEと弧CEに囲まれた部分の面積を求めます。これは三角形PCEと、線分CEと弧CEに囲まれた部分（弓形）を合わせた形です。

上下2コマの図。上は三角形PCEと弓形が橙。下は頂点PをOへ動かしたおうぎ形OCEが橙で、中心角90°、半径8cm。CからABまでの高さは赤い破線

弧180°を4等分すると1つ分は45°です。CはAから、EはBから45°の点なので左右対称で同じ高さにあり、CEとABは平行です。
頂点PをABの上でOまで動かしても、底辺CEも高さも変わらないので、三角形OCEは三角形PCEと同じ面積です。
三角形OCEに弓形を合わせると、ちょうどおうぎ形OCEになります。中心角は $45 \times 2 = 90$ °なので、面積は $\pi \times 8^2 \times \dfrac{90}{360} = 16\pi$ cm² です。Pの位置（BP＝3cm）は答えに関係しません。

図形の計量の例題：重なりの相殺

自分で解いてみる図形の計量の例題2（等積変形・重なりの相殺）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、∠Bが直角で、AB＝8cmの直角三角形ABCがある。辺ABを直径とする半円を、三角形と同じ側に描いた。図のアの部分（半円のうち三角形の外にある部分）とイの部分（三角形のうち半円の外にある部分）の面積が等しいとき、辺BCの長さはいくらか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

Bが直角の直角三角形ABC。AB8cm、BCは？。ABを直径とする半円が上にふくらみ、半円が三角形の外にはみ出した部分がア、三角形のうち半円の外の部分がイ

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（長方形の中の点と三角形）

タイプ3接する円

図形の計量の解き方（接する円）

見分け方：問題文に「接している」「外側で接する」と書いてあり、円どうし、または円と直線・辺が接しています。聞かれるのは円の半径や、接点の間の長さです。

長さを出す道具は三平方の定理です。直角三角形で、直角をはさむ2辺を $a$ ・ $b$ 、直角の向かいの辺（斜辺）を $c$ とすると、 $a^2 + b^2 = c^2$ です（ $a^2$ は $a \times a$ 。3・4・5 の三角形なら $9 + 16 = 25$ ）。詳しくは「三角形」の単元で扱います。

解き方の手順

1
中心どうしを結ぶ
外側で接する2つの円なら、長さは半径の和です（内側で接するときは半径の差）。
2
中心から接点へ線を引く
中心と接点を結ぶ線は、接している直線（辺）と垂直で、長さは半径です。
3
直角三角形を作る
中心から縦か横に補助線（自分で書き足す線）を1本引き、中心どうしを結んだ線が斜辺になる直角三角形を作ります。
4
三平方の定理で解く
3辺を式で書いて $a^2 + b^2 = c^2$ に入れます。選択肢の数を入れて、式が成り立つものを探すと速いです。

例で確かめる直線に接する大小2つの円

直線ℓの上に、中心がAで半径8cmの円と、中心がBで半径2cmの円があり、どちらもℓに接し、2つの円は外側で接しています。中心Aの円とℓの接点をP、中心Bの円とℓの接点をQとするとき、PQの長さを求めます。

直線ℓに接する半径8cmの円（中心A）と半径2cmの円（中心B）。中心AとBを結ぶ赤い破線10cm、BからAPへの水平な赤い破線、縦の差6cm。PQは橙で8cm

中心どうしの距離は、半径の和で $8 + 2 = 10$ cm です。
APとBQはℓと垂直です。Bから線APへ水平に補助線を引くと直角三角形ができ、縦の辺は $8 - 2 = 6$ cm、横の辺はPQと同じ長さです。
横の辺を □cm とすると、三平方の定理から $□ \times □ + 6^2 = 10^2$ です。 $□ \times □ = 100 - 36 = 64$ で、 $8 \times 8 = 64$ なので、PQ＝8cm です。

図形の計量の例題：接する円

自分で解いてみる図形の計量の例題3（接する円）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、縦24cm、横27cmの長方形の中に、大きい円と小さい円がある。大きい円は長方形の左の辺・上の辺・下の辺に接している。小さい円は長方形の下の辺と右の辺に接し、大きい円とも外側で接している。小さい円の半径はいくらか。

縦24cm横27cmの長方形。左寄りに左・上・下の辺に接する大きい円、右下の角に下と右の辺に接し大きい円とも接する小さい円

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（4つの円を囲む大きな円）

タイプ4分割と方程式

図形の計量の解き方（分割と方程式）

見分け方：図形を区画に分けた問題で、辺の長さの一部が書いてありません。代わりに「アの面積はウの2倍」のように、面積どうしの関係が書いてあります。

解き方の手順

1
分からない長さを x とおく
聞かれている長さ、またはそれが出せる長さを $x$ とおきます。何を $x$ にしたかを図に書き込みます。
2
区画の面積を x の式で書く
区画ごとに縦と横を $x$ で表します。道や帯は端に寄せると、残りが1つの長方形になります。
3
方程式を立てて解く
面積の関係をそのまま等式にします。解が2つ出たら、図に入らない長さを除きます。

例で確かめる花だんの十字の道

縦12m・横20mの長方形の花だんに、縦と横に同じ幅の道を1本ずつ通したところ、道を除いた部分の面積は180m²でした。道の幅を求めます。

上下2コマ。上は縦12m横20mの花だんに幅x mの道が十字に通る図。下は道を右と下の端に寄せた図で、残りは縦12−x、横20−xの長方形、180m²

道の幅を $x$ m とおきます。
道で切り分けた4つの区画は、並べ替えても広さは変わりません。道を右と下の端へ寄せると、4つの区画がすき間なく集まり、縦 $12 - x$ m・横 $20 - x$ m の長方形1つになります。
面積が180m²なので、 $(12 - x)(20 - x) = 180$ です。かっこを外すと $x^2 - 32x + 240 = 180$ 、整理して $x^2 - 32x + 60 = 0$ 、 $(x - 2)(x - 30) = 0$ です。
$x = 30$ は縦の12mより長いので合いません。道の幅は2mです（ $10 \times 18 = 180$ ）。

図形の計量の例題：分割と方程式

自分で解いてみる図形の計量の例題4（分割と方程式）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、縦12mの長方形の土地を3つの区画ア・イ・ウに分けた。アは土地の左端にとった一辺12mの正方形である。残りの長方形を横の線で上下に分け、上の縦3mの区画をイ、下の区画をウとした。ウの面積がアの面積と等しいとき、土地の横の長さはいくらか。（図の長さの比は正確ではない）

縦12mの横長の土地。左端に正方形ア、その右の上に縦3mのイ、下にウ。横の長さは？m。長さの比は正確ではない

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（L字の形に切り取った正方形）

タイプ5相似比と規則性

図形の計量の解き方（相似比と面積比・規則性）

見分け方：問題文に「平行」「中点を結ぶ」「少しずつずらして重ねる」と書いてあり、図に同じ形で大きさの違う図形（相似な図形）が出てきます。

解き方の手順

1
同じ形の組と相似比を探す
平行な線で切った三角形や、重なってできた小さな図形は、もとの図形と同じ形です。
2
面積比は相似比の2乗
相似比が $3:5$ なら、面積比は $9:25$ です。
3
くり返しは「最初＋増える分」
$\text{1つ目} + \text{1つ増えるごとに増える面積} \times (\text{個数} - 1)$ にします。

例で確かめる平行な線で切った三角形

面積50cm²の三角形ABCの辺AB上に点D、辺AC上に点Eがあり、DEとBCは平行です。AD:DB＝3:2のとき、台形DBCEの面積を求めます。

三角形ABCをBCに平行な線DEで切った図。AD:DB＝3:2。上の三角形ADEは18、下の台形DBCEは橙で32。三角形ABC＝50cm²、三角形ADE：三角形ABC＝9：25

DEとBCが平行なので、三角形ADEと三角形ABCは同じ形です。相似比は AD：AB＝ $3:(3+2) = 3:5$ です。
面積比は2乗して $9:25$ です。三角形ADEは $50 \times \dfrac{9}{25} = 18$ cm² です。
台形DBCEは $50 - 18 = 32$ cm² です。

図形の計量の例題：相似比と規則性

自分で解いてみる図形の計量の例題5（相似比と規則性）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

底辺9cm、高さ8cmの同じ直角三角形の紙が6枚ある。図のように、底辺を同じ直線の上にそろえ、1枚目から右へ6cmずつずらして6枚を重ねて貼った。紙で覆われた部分の面積はいくらか。

直角が左下にある同じ直角三角形6枚を、底辺をそろえて右へ6cmずつずらして重ねた図。底辺9cm、高さ8cm

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（中点を結んだ正方形の面積の合計）

まとめ間違いやすい点

よくある間違い

三角形の ÷2、おうぎ形の「中心角÷360」を忘れる：三角形DEC（例題1）は $6 \times 8 = 48$ ではなく24cm²です。
半径と直径を取り違える：直径8cmの半円の半径は4cmで、面積は $8\pi$ です（8cmを半径にすると $32\pi$ ）。
相似比をそのまま面積比にする：相似比 $3:5$ の三角形ADE（タイプ5）は $50 \times \dfrac{3}{5} = 30$ ではなく、 $50 \times \dfrac{9}{25} = 18$ cm²です。
中心どうしの距離を取り違える：接し方で決まります（下の表）。
個数と重なりの回数を混同する：6枚ずらして重ねると、重なりは5か所です。

2つの円の接し方	中心どうしの距離
外側で接する（離れて並ぶ）	半径の和
内側で接する（大きい円の中に小さい円）	半径の差

時間と捨てる判断

全体から引く・等積変形・接する円の基本の形は、補助線1本で決まることが多く、2〜3分を目安に取りにいきたいタイプです。
$\pi$ の前の数が選択肢ごとに全部違えば、引くおうぎ形の面積を出しただけで答えが1つに決まります。
2分ほど見ても補助線が浮かばなければ、後回しにする手もあります。1問に5分以上かけないのが目安です。
図は正確とは限りません。見た目で「直角」「同じ長さ」と決めず、問題文の条件だけを使います。

次にやること

「必修」の7問を解く「図形の計量」の問題一覧（25問）

先に読む単元

平行線と線分比の解き方

次に読む単元

円と接線の計量の解き方

5分でわかる図形の計量の解き方

図形の計量とは・面積の公式

図形の計量の解き方：面積の3つの求め方