4分でわかる円と接線の計量の解き方

円と接線の計量とは・接線の2つの性質

30秒でわかる円と接線

接線は、円と1点だけで触れる直線です。触れている点を接点といいます。円と接線の計量は、次の2つの性質で直角三角形を作り、長さや面積を出す問題です。

性質1

接点で、半径と接線は直角に交わる

性質2

円の外の点から引いた2本の接線の長さは等しい（$PA = PB$）

接線の長さ（半径を r とする）

$PA = \sqrt{OP^2 - r^2}$

接線の長さの式は、三平方の定理から出ます。直角三角形では、斜辺（直角の向かいの辺）の長さの2乗が、ほかの2辺の長さの2乗の和に等しくなります（三角形の性質の単元で詳しく扱います）。上の図の三角形OAPは、性質1よりAが直角で、斜辺はOPです。なので $OP^2 = r^2 + PA^2$ となり、ここから $PA^2 = OP^2 - r^2$ です。

このページでは、角を「∠APB」のように書きます。真ん中の文字Pが頂点で、PAとPBがつくる角のことです。

試験での出方

円と接線だけの問題は多くありません。円の面積（図形の計量の単元）や三角形の問題に混ざって出ることが多い単元です。ただ、2つの性質は図形の問題全体で使う道具なので、先に押さえておくと図形の問題が解きやすくなります。

よく出るタイプ

円と接線の計量の問題は、次の3つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1円外の点からの接線接線の長さ・四角形の面積を出す→
• タイプ22円の共通接線2つの円の両方に接する直線→
• タイプ3接線の等長でつなぐ内接円・4つの辺が円に接する四角形→

円と接線の計量の解き方（円外の点からの接線）

見分け方：問題文に「円の外にある点Pから接線を引き」と書いてあります。半径・中心からPまでの長さ（OP）・接線の長さ（PA）・角（2本の接線がつくる角∠APB か、中心の角∠AOB）のうち、2つが分かっています。聞かれるのは残りの長さや、中心・2つの接点・Pを結んだ四角形の面積です。

例で確かめる半径20cmと接線21cm

半径20cmの円Oに、円の外の点Pから2本の接線PA・PBを引きます。PA＝21cmのとき、OPの長さと四角形OAPBの面積を求めます。

• 中心Oと接点A・Bを結ぶと、AとBが直角になります。
• 直角三角形OAPの斜辺はOPなので、$OP^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ です。$29 \times 29 = 841$ なので、OP＝29cmです。
• 三角形OAPの面積は、直角をはさむOAとPAを使って $20 \times 21 \div 2 = 210$ cm²です。四角形OAPBはその2倍で420cm²です。

円と接線の計量の問題：円外の点からの接線

自分で解いてみる円と接線の計量の例題1（円外の点からの接線）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

半径5cmの円Oがある。この円の外にある点Pから円Oに2本の接線を引き、接点をそれぞれA、Bとしたところ、∠AOB＝120°であった。四角形OAPB（図の色の付いた部分）の面積はいくらか。

1$\dfrac{25\sqrt{3}}{2}$ cm²225 cm²3$25\sqrt{3}$ cm²450 cm²5$50\sqrt{3}$ cm²

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円と接線の計量の解き方（2円の共通接線）

2つの円の両方に接する直線を共通接線といいます。2つの円が直線の同じ側にあるものを共通外接線、2つの円の間を通るものを共通内接線といいます。

見分け方：問題文に円が2つ出てきて、「共通外接線」「2つの円に接する直線」と書いてあります。「2つの円が外側で接している」と書いてあるか、2つの中心の間の長さが書いてあります。聞かれるのは2つの接点の間の長さです。

例で確かめる外側で接する2つの円の半径

半径16cmの円Oと、それより大きい円O'が、外側で接しています。共通外接線が円Oと点P、円O'と点Qで接し、PQ＝40cmです。円O'の半径を求めます。

• 円O'の半径を $x$ cmとおきます（O'Q＝$x$ cm）。
• 円O'のほうが大きいので、O'Q＝$x$ cmのうち、QH＝OP＝16cmを除いた残りが HO'＝$x - 16$ cmです。また OH＝PQ＝40cmです。外側で接しているので、OO'＝$x + 16$ cmです。
• 直角三角形OHO'で、$(x + 16)^2 = 40^2 + (x - 16)^2$ です。かっこを外すと $x^2 + 32x + 256 = 1600 + x^2 - 32x + 256$ で、$64x = 1600$、$x = 25$ です。円O'の半径は25cmです。

外側で接している2つの円（大きいほうの半径を $a$ cm、小さいほうを $b$ cm とします）なら、直角三角形OHO'の斜辺OO'が $a + b$、HO'が $a - b$ なので、$PQ^2 = (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$ となり、PQ＝$2\sqrt{ab}$ でも出ます（$2\sqrt{25 \times 16} = 2 \times 20 = 40$）。離れている円では中心の間が $a + b$ ではないので使えません。

円と接線の計量の問題：2円の共通接線

自分で解いてみる円と接線の計量の例題2（2円の共通接線）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

半径4cmの円Oと半径16cmの円O'があり、中心Oと中心O'の間の長さは37cmである。2つの円の共通外接線の1本が、円Oと点Pで、円O'と点Qで接している。線分PQの長さはいくらか。

116 cm225 cm3$\sqrt{969}$ cm435 cm537 cm

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円と接線の計量の解き方（接線の等長でつなぐ）

三角形の3つの辺すべてに接する円を内接円といいます。

見分け方：円に接する直線が3本以上あり、問題文に「内接円」「4つの辺がすべて円に接している」「さらに別の接線を引く」と書いてあります。聞かれるのは、辺の一部の長さや周の長さです。

たとえば、円の外の点Pから接線PA・PBを引き、その間にもう1本、円に接する直線を引きます。PAとの交点をC、PBとの交点をD、円との接点をTとします。性質2より、Cから引いた2本で CA＝CT、Dから引いた2本で DB＝DT です。なので三角形PCDの周 PC＋CT＋TD＋DP は、PC＋CA＋DB＋DP＝PA＋PB になります。

例で確かめる三角形の内接円

AB＝7cm、BC＝8cm、CA＝9cmの三角形ABCに、内接円があります。各頂点から接点までの長さを求めます。

• 頂点Aから2つの接点までを $x$ cm、Bからを $y$ cm、Cからを $z$ cmとおきます（同じ頂点からの2本は等しい）。
• 辺は2つの部分の和なので、$x + y = 7$、$y + z = 8$、$z + x = 9$ です。
• 3つを足すと $2(x + y + z) = 24$ なので、$x + y + z = 12$ です。ここから1つずつ引いて、$x = 12 - 8 = 4$、$y = 12 - 9 = 3$、$z = 12 - 7 = 5$ です。

円と接線の計量の問題：接線の等長でつなぐ

自分で解いてみる円と接線の計量の例題3（接線の等長でつなぐ）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

四角形ABCDの4つの辺が、すべて円Oに接している。AB＝9cm、BC＝13cm、CD＝11cmのとき、辺DAの長さはいくらか。

14 cm27 cm311 cm413 cm515 cm

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よくある間違い

接点で直角を立てない

円と接線の図では、まず中心と接点を結びます。直角が見えないと、三平方の定理も辺の比も使えません。いちばん多いつまずきです。

中心の間を、接点の間の長さにしてしまう

タイプ2の例では、中心の間OO'は41cm、接点の間PQは40cmです。中心の間OO'は直角三角形OHO'の斜辺で、接点の間PQは、それと等しいOH（直角をはさむ辺）です。斜辺がいちばん長いので、PQはOO'より短くなります。

2つの円が外側で接するか内側で接するかで、半径の和と差を取り違える

四角形の面積で、2倍を忘れる

中心・2つの接点・円の外の点を結んだ四角形は、直角三角形2つ分です。タイプ1の例題では、1つ分の $\dfrac{25\sqrt{3}}{2}$ cm²で止めると誤りです。

接線の長さの式で、引く向きを逆にする

$PA^2 = OP^2 - r^2$ です。いちばん長いのは斜辺のOPなので、OPの2乗から半径の2乗を引きます。

時間と捨てる判断

• 中心と接点を結んで直角三角形ができれば、1〜2分で解けることが多いです。タイプ1・2の基本の形は取りにいきたい問題です。
• 内接円で文字を3つおく問題や、小さい円がいくつも接して並ぶ問題は時間がかかりやすいです。3分たっても式が立たなければ、後回しにする手もあります。
• 迷ったら「中心と接点を結んだか」「同じ点から出る2本に印を付けたか」に戻りましょう。