5分でわかる立体図形の解き方

立体図形とは・体積と表面積の公式

立体の図の決まり：見えない辺は破線

見取り図は、立体を斜め上から見たように描いた図です。立体の裏側にあって見えない辺は、細い破線で描きます。実線か破線かで、どの辺が手前でどの辺が奥かを読み取ります。

錐体の体積が「3分の1」になる理由

1辺6cmの立方体を、中心を頂点として、6つの面をそれぞれ底面とする四角すいに分けます。6つの四角すいは同じ形なので、1つの体積は $6 \times 6 \times 6 \div 6 = 36$ cm³ です。

この四角すいは、底面積が $6 \times 6 = 36$ cm²、高さが立方体の中心から下の面までの $6 \div 2 = 3$ cm です。底面積 × 高さは $36 \times 3 = 108$ で、体積の36はちょうどその $\dfrac{1}{3}$ です。ここでは立方体で確かめましたが、どんな錐体でも、同じ底面・同じ高さの柱体の $\dfrac{1}{3}$ になります。

表面積と円すいの展開図

表面積は、立体のすべての面の面積の合計です。立体を切り開いて平面に広げた図を展開図といいます。

• 円柱の側面は長方形に開きます。縦が高さ $h$、横が底面の円周 $2\pi r$ なので、側面積（まわりの面の面積）は $2\pi r h$ です。上と下の2つの円 $\pi r^2 \times 2$ を足して、表面積は $2\pi r^2 + 2\pi r h$ です。
• 円すいの側面はおうぎ形に開きます。半径は母線（頂点から底面の円周までの斜めの長さ）$l$ で、弧の長さは底面の円周 $2\pi r$ と同じです。

上の図では、弧の長さが底面の円周 $2\pi \times 3 = 6\pi$ cm で、半径9cmの円の円周 $18\pi$ cm の $\dfrac{1}{3}$ です。なので中心角は $360° \times \dfrac{1}{3} = 120°$、側面積は $\pi \times 9^2 \times \dfrac{1}{3} = 27\pi$ cm² です。これが円すいの側面積の公式 $\pi r l$（$\pi \times 3 \times 9$）の出どころです。底面と合わせた表面積は $27\pi + 9\pi = 36\pi$ cm² です。

球の公式は、球がぴったり入る円柱（半径 $r$・高さ $2r$）と比べると覚えやすいです。円柱の体積は $\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ で、球の体積はその $\dfrac{2}{3}$ の $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ です。球の表面積 $4\pi r^2$ は、その円柱の側面積 $2\pi r \times 2r$ と同じです。

相似な立体の比も、長さから出てきます。すべての長さが2倍になると、面積は縦も横も2倍なので4倍、体積は縦・横・高さが2倍なので8倍です。

試験での出方

地方上級でやや多く、国家公務員・特別区・市役所でも出ます。東京都ではほぼ出ていません。相似・三平方の定理など平面図形の道具をそのまま使うので、平面図形を先に固めておくと解きやすくなります。

よく出るタイプ

立体図形の問題は、次の4つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1相似な立体の切断底面に平行に切る・体積の比→
• タイプ2水に沈める・取り出す水位が上がる・下がる→
• タイプ3斜めに切断した柱体円柱や角柱を斜めに切る→
• タイプ4台形の断面球が内接する円すい台・重ねた植木鉢→

立体図形の解き方：まず断面に移す

どのタイプも、最初の一手は同じです。立体の真ん中を縦に通る線（軸。円すいなら頂点と底面の中心を結ぶ線）を含む平面で切って、断面を描きます。円すいなら二等辺三角形、円すい台（円すいの上を底面に平行に切り取った形）なら台形、水そうなら長方形になります。あとは断面の中で、平行な線がつくる相似な三角形や直角三角形を探し、辺の比や三平方の定理で長さを出します。

立体図形の解き方（相似な立体の切断）

見分け方：問題文に「底面に平行な平面で切断した」と書いてあります。切った上の部分（頂点を含む小さい円すい・角すい）は元の立体と相似で、「体積の何分の1」や、下に残る円すい台（円すいの上を切り取った残りの形）の体積を聞かれます。

例で確かめる体積250cm³の円すいを切る

体積が250cm³の円すいを、頂点から高さの $\dfrac{2}{5}$ の位置で、底面に平行に切ります。上の小さい円すいと、下の円すい台の体積はそれぞれ何cm³でしょうか。

• 小さい円すいの高さは元の $\dfrac{2}{5}$ です。断面の三角形を見ると、切り口の線は底辺と平行なので、小さい三角形と大きい三角形は相似で、相似比は $2:5$ です。
• 体積の比は3乗で $2^3 : 5^3 = 8:125$ です。小さい円すいは $250 \times \dfrac{8}{125} = 16$ cm³ です。
• 円すい台は $250 - 16 = 234$ cm³ です。

上の円すいは高さでは元の $\dfrac{2}{5}$ ありますが、体積は元の $\dfrac{8}{125}$ しかありません。長さの比のまま $\dfrac{2}{5}$ にすると100cm³になり、大きくずれます。

下の「必修問題を解く」の問題は、円すいの中に逆向きの円すいを作る形です。これも軸を通る断面を描き、平行な線でできる相似な三角形から、小さい円すいの高さを出します。

立体図形の問題：相似な立体の切断

立体図形の解き方（水に沈める・取り出す）

見分け方：問題文に水そうと「おもりを沈める」「球を取り出す」「柱を立てる」のような操作があり、水面の高さ（水位）を聞かれます。

例で確かめる水そうに柱を立てる

底面が縦30cm・横20cmの長方形の水そうに、水が深さ9cmまで入っています。底面積150cm²（10cm×15cm）、高さ30cmの四角柱を、底に着くまでまっすぐ立てると、水の深さは何cmになるでしょうか。水はあふれないものとします。

• 水の体積は $30 \times 20 \times 9 = 5400$ cm³ です。
• 柱は高さ30cmなので、水面から上に出ると考えます。水そうの底面積は $30 \times 20 = 600$ cm² なので、水が入れる場所の底面積は $600 - 150 = 450$ cm² です。
• 水の深さは $5400 \div 450 = 12$ cm です。柱の高さ30cmより低いので、水面から出るという考えと合います。

確かめ：水面は $12 - 9 = 3$ cm 上がりました。上がった分の体積 $600 \times 3 = 1800$ cm³ は、水面より下にある柱の体積 $150 \times 12 = 1800$ cm³ と等しくなっています。

立体図形の問題：水に沈める・取り出す

立体図形の解き方（斜めに切断した柱体）

見分け方：問題文に「円柱（角柱）を底面に対して斜めに切断した」と書いてあり、切り口が上を向いた立体の、いちばん高い所・低い所の長さが与えられます。

例で確かめる斜めに切った円柱の体積

底面の半径が4cmの円柱を斜めに切った立体があります。いちばん低い所は6cm、いちばん高い所は14cmです。体積は何cm³でしょうか。

• 中心軸の高さは $(6 + 14) \div 2 = 10$ cm です。
• 体積は $\pi \times 4^2 \times 10 = 160\pi$ cm³ です。

なぜ平均でよいのか：同じ立体をもう1つ作り、逆さにして切り口どうしを合わせると、高さ $6 + 14 = 20$ cm の円柱になります。その体積 $\pi \times 4^2 \times 20 = 320\pi$ cm³ の半分が、元の立体の体積です。半分にするのは、高さを平均にするのと同じです。

立体図形の問題：斜めに切断した柱体

自分で解いてみる立体図形の例題3（斜めに切断した柱体）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

底面が1辺6cmの正方形である四角柱を、底面に対して斜めに1回切断し、図のような立体を作った。4本の縦の辺のうち3本の長さは8cm、11cm、12cmで、8cmの辺と12cmの辺は向かい合う位置にある。この立体の体積はいくらか。

1288cm³2324cm³3360cm³4372cm³5432cm³

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立体図形の解き方（台形の断面：球の内接・重ねた容器）

見分け方：円すい台（円すいの上を底面に平行に切り取った形。上の円の面を上底、下の円の面を下底といいます）や、口が広く底がせまい容器（植木鉢など）が出てきて、「球が上底・下底・側面のすべてに接している」「容器を重ねる」と書いてあります。軸を通る断面が台形になる問題です。

例で確かめる球が内接する円すい台

半径6cmの球が、円すい台の上底・下底・側面のすべてに接しています。上底の半径が4cmのとき、下底の半径は何cmでしょうか。

• 断面は、等脚台形ABCDに円が接する図です。球は上底と下底に接しているので、台形の高さは球の直径の $6 \times 2 = 12$ cm です。
• 円の外の1点から円に引いた2本の接線（円に1点だけで触れる直線）の、その点から接点までの長さは等しい、という性質を使います。円は上の辺の真ん中で上の辺に触れているので、上の辺の真ん中からBまでの4cmは、Bから引いた接線の1本です。もう1本はBからQまでなので、BQも4cmです。同じように、円は下の辺の真ん中で下の辺に触れているので、Cからの2本（下の辺の真ん中からCまでと、QC）は等しく、これを $x$ cm とします。
• 斜めの辺BCは、BQとQCを合わせて $4 + x$ cm です。Bから下の辺へ垂線BHを下ろすと、HはBの真下なので、下の辺の真ん中からHまでは上の辺の半分と同じ4cmです。よってHCは $x - 4$ cm、BHは台形の高さの12cmです。
• 直角三角形BHCで、いちばん長い辺は直角の向かいにあるBCです。三平方の定理より $(x + 4)^2 = (x - 4)^2 + 12^2$ です。展開すると $x^2 + 8x + 16 = x^2 - 8x + 16 + 144$ で、両辺から $x^2 + 16$ を引くと $16x = 144$、$x = 9$ cm です。

直角三角形BHCは、辺が5cm・12cm・13cmになっています。同じ計算をすると、球が上底・下底・側面に接する円すい台では、いつでも 上底の半径 × 下底の半径 ＝ 球の半径 × 球の半径 が成り立ちます（この例では $4 \times 9 = 36 = 6 \times 6$）。

立体図形の問題：重ねた容器の断面

自分で解いてみる立体図形の例題4（重ねた容器の断面）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

口が広く底がせまい、円すい台の形をした植木鉢がある。この植木鉢の内側は、口の直径が32cm、底の直径が12cm、深さが24cmである。この植木鉢に、底の直径が17cmの別の植木鉢をまっすぐ入れたところ、入れた鉢の底のふちが下の鉢の内側の面に当たって止まった。このとき、入れた鉢の底は、下の鉢の底から何cmの高さにあるか。ただし、鉢の厚さは考えないものとする。

13cm26cm312cm412.75cm518cm

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よくある間違い

体積の比を、そのまま長さの比にしてしまう

体積が8倍の相似な立体でも、長さは8倍ではなく2倍です。長さ・面積・体積で、何乗するかを使い分けます。

錐体の3分の1を掛け忘れる

底面積36cm²・高さ3cmの四角すいの体積は、$36 \times 3 \times \dfrac{1}{3} = 36$ cm³ です。$\dfrac{1}{3}$ を忘れると108cm³になり、同じ底面・同じ高さの四角柱の体積を答えてしまいます。

水面の高さと、上がった分を取り違える

タイプ2の例では、柱を立てた後の水の深さが12cm、上がった分が3cmです。どちらを聞かれているかを最後に読み直します。

半径と直径、いちばん高い所と中心の高さを取り違える

台形の断面の上の辺・下の辺は直径で、半径はその半分です。斜めに切った円柱では、いちばん高い所（タイプ3の例の14cm）ではなく、中心の高さ（10cm）を掛けます。

時間と捨てる判断

• 公式をそのまま使う体積・相似比の問題と、水位の基本の問題は、2分前後を目安に取りにいきたいタイプです。
• 断面を描いて補助線で相似を作る問題（台形の断面・円すいの中の円すい）は、3分ほどかかることが多いです。
• 見取り図のまま式を立て始めると時間がかかります。断面の図が描けないと分かったら、いったん後回しにする手もあります。
• 迷ったら「軸を通る平面で切ると、断面は何の形か」に戻りましょう。どのタイプもここから始まります。