5分でわかる展開図の解き方

展開図とは・立方体の展開図の見方

30秒でわかる展開図

展開図は、立体の表面を辺で切り開いて、1枚の平面に広げた図です。試験では、展開図を組み立てたときに「どの面が向かい合うか」「どの辺や点が重なるか」「模様がどう見えるか」が聞かれます。

向かい合う面

立方体では、1列に並んだ面の1つ飛ばし（間に1枚はさんだ2枚）が向かい合う

重なる辺

展開図のすき間で90°の角をはさむ2本の辺は、組み立てると1本の辺になる

面の移動

面は、90°の角のまわりに回して隣へ付け替えてよい（模様も一緒に90°回る）

立方体の展開図は、つながり方の違いで全部で11種類あります。覚えなくても、上の3つの見方で、どの形でも同じように解けます。立方体は6面なので、1つの面と向かい合う面はちょうど1枚です。この「1枚だけ」が、あとで重なる面を見つける手がかりになります。

展開図の解き方：重なる辺と面の移動

組み立てたときに1本の辺になる2本の辺を、このページでは重なる辺と呼びます。次の順に組を作ります。

1. 展開図の外側のふちで、2本の辺が90°のすき間をあけて1つの点に集まっているところを全部探します。その2本が重なります（図のア〜エ）。
2. そこから外側へ、となりの辺どうしも順に重なっていきます（イからたどるとキ、その先がカ）。たどった先の辺がもう別の組に入っていたら、そこで止めます。2本の手前の角がどちらも外へ出っぱった角（正方形1枚の角）のときも止めます。
3. 最後に2本だけ残ったら、その2本が重なります（オ：Aの左の辺とFの下の辺）。もっと多く残る形では、面を移して確かめます。

重なる辺で面を切り離し、相手の辺に付け替えても、組み立てると同じ立方体になります。これを面の移動と呼びます。下の図では、Aを、Cの左上の角を中心に90°回してCの左へ移しています。移すと A・C・D・E が横一列になり、1つ飛ばしの AとD、CとE が向かい合うことがすぐ読めます。

模様をどちらへ回すかは、くっつく辺で決めます。Aの下の辺はCの左の辺と重なるので、移した後はAの下の辺がAの右側にきます。下にあった辺が右へくる回し方なので、上向きだった矢印は左向きになります。

試験での出方

地方上級・東京都・特別区でやや多く、ほかの受験先でも出ています。立方体の展開図が中心で、次に正八面体の展開図が出ます。サイコロの目の問題やほかの立体の問題（切断など）も、この単元の見方の上に立っています。

よく出るタイプ

展開図の問題は、次の5つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1重なる面の特定正方形が7枚・8枚あって、重なる面を探す→
• タイプ2組み立てた見え方の照合模様のある展開図と見取図を比べる→
• タイプ3重なる頂点の特定展開図の点Pと重なる点を探す→
• タイプ4展開図の成立条件方眼紙から立方体の展開図を切り取る→
• タイプ5隣り合う面と数字正八面体・立方体の面の数を使う→

このほか、正十二面体・正二十面体の展開図も、国家総合職などでまれに出ます。向かい合う面は、1列に並んだ面の両端（正十二面体は4枚、正二十面体は6枚の列）で見つけます。

展開図の解き方（重なる面の特定）

見分け方：問題文に「正方形を7枚（8枚）つなげた図」とあり、「組み立てると面が重なる」「重なり合う面の組合せ」を聞かれます。立方体の面は6枚なので、多い1枚・2枚が、どこかの面と重なります。

例で確かめる正方形7枚で重なる2枚

中の段に A・B・C・D が横一列、Dの上にE、Eの右にF、Aの下にGがある7枚の図です。組み立てると、どれとどれが重なるでしょうか。

• A・B・C・D は横一列なので、1つ飛ばしの AとC、BとD が向かい合います。
• Fは上の段にあるので、Dの右上の角を中心に90°回して、Dの右へ移します。
• すると A・B・C・D・F の5枚が横一列になり、C・D・F の1つ飛ばしで、CとF も向かい合います。
• Cと向かい合う面が AとF の2枚になったので、AとFが重なります。5枚がまっすぐ並ぶと、5枚目（F）は1枚目（A）と同じ位置にくる、と見ても同じです。

展開図の問題（例題1）：重なる面

自分で解いてみる展開図の例題1（重なる面の特定）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

下の図は、合同な正方形8枚をつないだもので、破線は折り目、実線は切り離された辺である。これを折り曲げて立方体を組み立てると、2組の面がそれぞれ重なる。重なり合う面の組合せとして正しいのはどれか。

1AとD、CとH2AとG、CとH3AとG、BとH4BとG、CとE5AとH、CとG

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展開図の解き方（組み立てた見え方の照合）

見分け方：面に矢印・線・丸などの模様がかかれた展開図と、組み立てた立方体を斜め上から見た図（見取図）が並び、「正しい見え方はどれか」を聞かれます。逆に、見取図から正しい展開図を選ぶ問題もあります。

例で確かめる矢印・丸・斜めの線

中の段に B・C・D・E が横一列、Bの上にA、Eの下にFがある展開図です。Aに矢印、Bに丸、Eに斜めの線があります。

• 向かい合う面は、列の1つ飛ばしで BとD、CとE です。横一列の4枚は組み立てると側面を1周するので、列の上に付いた面は上のふた、下に付いた面は底になります。付いている位置がずれていても、上のAと下のFは向かい合います。模様のある A・B・E はどの2枚も向かい合わないので、3面が一度に見えます。
• Aは Bの上の辺につながっていて、矢印は Bから離れる向きです。
• 横一列の B・C・D・E は、組み立てるとぐるりと1周して側面になり、列の両端の EとB がつながります。だから Bの左どなりはE です。
• Eの斜めの線は、Eの右上の角に向かいます。Eの右上の角は、上の面A・右どなりのB・Eの3面が集まる角です。
• 見取図にすると、上がA、右手前がB、左手前がE。矢印は Bの面と反対の左奥を指し、斜めの線は3面が集まる手前の角を通ります。

展開図の問題（例題2）：見え方

自分で解いてみる展開図の例題2（組み立てた見え方の照合）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

下の展開図を、模様のかかれた面が外側になるように折り曲げて立方体を作る。模様は矢印・黒い丸・斜めの線の3つで、ほかの3面には何もかかれていない。この立方体を、模様のある3面がすべて見える向きから見た図として正しいのはどれか。

11の見取図22の見取図33の見取図44の見取図55の見取図

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展開図の解き方（重なる頂点の特定）

見分け方：展開図のふちに点Pと、ア〜オのような点が打ってあり、「組み立てたとき点Pと重なる点はどれか」を聞かれます。立方体の角の点（頂点）には3つの面が集まるので、展開図では1つの頂点が最大3か所に分かれています。

例で確かめる1つの頂点が3か所に分かれる

横に4枚が1列に並び、左から3枚目の上に1枚、左端の下に1枚が付いた展開図です。列の左上の角をPとします。

• 上に出た面の左の辺と、列の2枚目の上の辺は、90°の角をはさむので重なります（ア）。
• その外側の、上に出た面の上の辺と、列の1枚目の上の辺も重なります（イ）。イの2本で、アから遠い端どうしが同じ点なので、Pは上に出た面の右上の角と重なります。
• 上に出た面の右の辺と、列の4枚目の上の辺も、90°の角をはさんで重なります（ウ）。上に出た面の右上の角は、ここで列の右上の角とも重なります。
• Pと合わせて3つの点が、立方体の1つの頂点になります。

展開図の問題（例題3）：重なる頂点

自分で解いてみる展開図の例題3（重なる頂点の特定）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

下の図は、正方形6枚をつないだ立方体の展開図で、上の段に3枚、下の段に3枚が並び、下の段の左端は上の段の右端の真下にある。この展開図を折り曲げて立方体を作ったとき、点Pと重なる点はどれか。

1ア2イ3ウ4エ5オ

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展開図の解き方（展開図の成立条件）

見分け方：「方眼紙から6マスを切り取って立方体を作る」「立方体の展開図にならないものはどれか」のように、その形が組み立てられるかを聞かれます。必ず使うマスに網かけがしてあることが多いです。

例で確かめる3つの形を見分ける

• ア：4枚の列の、左端の上と左から3枚目の下に1枚ずつ。4枚の列は組み立てると側面を1周するので、上の1枚はふた、下の1枚は底になり、付いている位置がずれていても向かい合います。6面がそろい、立方体になります。
• イ：左上の4マスが正方形に固まっていて、真ん中の点に4つの面が集まります。ならない形です。
• ウ：上の段の A・B・C（左から）は1つ飛ばしで AとC が向かい合います。右下のFを、Eの左下の角を中心に回してCの2つ下へ移すと、縦の C・D・F の1つ飛ばしで CとF も向かい合います。Cの向かいが2枚なので、左上のAと右下のFが重なり、ならない形です。

展開図の問題（例題4）：方眼紙から切り取る

自分で解いてみる展開図の例題4（展開図の成立条件）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

下の図のような、横5マス・縦3マスの方眼紙がある。この方眼紙から辺でつながった6マスを切り取り、折り曲げて立方体を作る。ただし、網かけの3マス（●印）は必ず使う。どのように切り取っても、絶対に使わないマスの組合せとして正しいのはどれか。

1AとE2CとE3BとD4CとF5AとB

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正八面体の展開図の解き方（接する面と数字）

見分け方：正三角形8枚の展開図（正八面体）や、数を書いた立方体の展開図があり、「ある面と辺で接する面の数の和」「向かい合う面の数」を聞かれます。立方体のときは、はじめにの「1つ飛ばし」で向かい合う面を出します。正八面体は、1つの面に、辺で接する面が3枚、角の点だけで接する面が3枚、向かい合う面が1枚あります。

重なる辺の目印は、立方体の90°に代わって120°の角です。正三角形の角は60°で、正八面体の1つの頂点には4枚が集まり $60° \times 4 = 240°$ なので、展開図で3枚が集まる点には $360° - 240° = 120°$ のすき間ができます。そのすき間をはさむ2本の辺が重なります（例題の解説の図のイ）。

例で確かめる正八面体の向かい合う面

上の段に A・B・C・D、下の段に E・F・G・H が並び、EはDの真下にある展開図です。

• 上の段の A・B・C・D は4枚の帯なので、両端の AとD が向かい合います。下の段の E・F・G・H も、EとH が向かい合います。
• C・D・E・F は、斜めにまっすぐ並んだ4枚の帯です。両端の CとF が向かい合います。
• 残った BとG が向かい合います。Bは頂点が上、Gは頂点が下で、向きが逆になっています。

展開図の問題（例題5）：正八面体

自分で解いてみる展開図の例題5（正八面体の接する面）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

下の図は、正三角形8枚をつないだ正八面体の展開図で、各面に1から8までの数が1つずつ書いてある。これを組み立てたとき、1の面と辺で接する3つの面に書かれた数の和はどれか。

112213314416518

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よくある間違い

展開図で隣の面は、組み立てても隣だと思う

展開図で辺がつながっている面は組み立てても隣ですが、離れている面も、組み立てると隣になることがよくあります。列の両端（タイプ2の BとE）や、90°の角をはさむ面がそうです。逆に、展開図で近くに見えても、1つ飛ばしなら向かい合う面です。

面を移すとき、模様を回し忘れる

面を90°回して移したら、面の矢印や線も同じ向きに90°回します。位置だけ動かして模様を元の向きのまま描くと、タイプ2の選択肢1や3のような見取図を選んでしまいます。

鏡に映した形を、同じ立方体だと思う

3面が集まる角のまわりの並び順（時計回りにどの順か）が逆になった見取図は、別の立方体です。見取図でも展開図でも、同じ角のまわりを時計回りに見て、並び順を比べます。

正八面体を、立方体と同じ見方で解く

時間と捨てる判断

• 重なる面・向かい合う面・正八面体の接する面は、1つ飛ばしと面の移動に慣れれば1〜2分で解けることが多いタイプです。
• 見え方の照合は、基準の面を1つ決めて、合わない見取図を消していけば短く済みます。全部の面を照合し始めると時間がかかります。
• 方眼紙から切り取る問題は、使えない候補を2つに絞ってから、成り立つ切り取り方を1つ作って確かめます。
• 2分たっても重なる辺がたどれないときは、いったん後回しにする手もあります。正十二面体・正二十面体はまれなので、立方体と正八面体に時間を使いましょう。