4分でわかるサイコロの解き方

サイコロの問題とは・向かい合う面の和は7

30秒でわかるサイコロ

サイコロの問題は、図では見えない面の目を、条件から決める問題です。立体を斜め上から見た図（見取り図）では3つの面しか見えないので、残りの面を1つずつ埋めていきます。

向かい合う面

向かい合う2つの面の目の和は7（1と6、2と5、3と4）

転がす

1回転がすと4つの面が入れかわる。奥へ転がすなら右と左、右に転がすなら手前と奥の2面は動かない。同じ向きに4回転がすと元に戻る

同じサイコロ

1つの角に集まる3つの目を時計回りに読んだ並びは、向きを変えても変わらない

問題文には、ふつう「向かい合う面（相対する面）の目の和は7である」と書いてあります。1つの面の目が分かれば、その反対側の面の目は7から引けば決まります。

位相図の書き方：見えない面を書き込む

位相図は、立方体の6つの面を1枚の平面に書く図です。中央の正方形が上の面、まわりの4つの台形が奥・左・右・手前の面で、底の面は中央にかっこ書きで入れます。見取り図より多くの面を一度に書けるので、サイコロの問題はこの図に書き込みながら解きます。

見えている面が上4・手前5・右6なら、底は $7-4=3$、奥は $7-5=2$、左は $7-6=1$ です。

サイコロを転がすと上の面はどう変わるか

「転がす」は、机に接している辺を軸にして、サイコロを90度倒すことです。奥へ転がすと、手前の面が上に来て、上の面は奥へ、奥の面は底へ、底の面は手前へ移ります。転がす向きの横にある右と左の2面は動きません。

右に転がすときは、左の面が上に来て、上の面は右へ、右の面は底へ、底の面は左へ移ります。動かないのは手前と奥の2面です。手前や左に転がすのは、奥や右に転がしたのを1回戻すのと同じ動きです。

同じ向きに何回も転がす問題は、4回ずつ省いて残りの回数だけ追います。10回なら $10 = 4 \times 2 + 2$ なので、2回転がしたのと同じ向きです。

試験での出方

サイコロの問題は出題が多くない単元で、東京都と特別区で少し出ている程度と見られます。展開図と同じく「向かい合う面」を使うので、展開図とあわせて押さえておくと解ける問題が増えます。

よく出るタイプ

サイコロの問題のうち、よく出るのは次の3つのタイプです。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1接する面の和並べたり積んだりしたサイコロの、見えない面を決める→
• タイプ2右回り・左回りの判定同じサイコロの向きを変えたとき、見えない面を決める→
• タイプ3積んだり並べたりした立体の隠れた面転がした向きにそろえたサイコロを積んだり並べたりし、ほかのサイコロと接する面を数える→

このほか、泉には次のタイプの問題もあります。

• 立方体の色の位相（面を3色でぬり分けた立方体を並べ、裏から見た色を決める）→ 問題を解く

サイコロの問題の解き方（接する面の和）

見分け方：サイコロを横一列に並べたり縦に積んだりした図があり、問題文に「接している2面の目の和は8である」のように、くっついている面どうしの目の和が書いてあることが多いです。

例で確かめる横一列に3個

同じ大きさのサイコロ3個を横一列に並べました。接している2面の目の和は、左と中央の間が8、中央と右の間が3です。いちばん左のサイコロの、左端の面の目を求めます。

	上	手前	左の面	右の面
左の1個	1	4
中央の1個	4	2
右の1個	3	6		5

1. ・右で和7：右のサイコロの中で、右の面が5
2. ・境目で和3：中央と右の間は和3
3. ・中央で和7：中央のサイコロの中で、右の面が1
4. ・境目で和8：左と中央の間は和8
5. ・左で和7：左のサイコロの中で、右の面が2

右で和7を書き込む ▶最後まで一気に書き込む

左端の面は5です。いちばん左のサイコロは上1（底6）、手前4（奥3）なので、左右の2面は残りの2と5の組になるはずで、たしかに合っています。

自分で解いてみるサイコロの例題1（接する面の和）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、同じ大きさのサイコロ3個を机の上に縦に積んだ。どのサイコロも、向かい合う面の目の和は7である。また、接している2面の目の和は、いちばん上のサイコロと中央のサイコロの間が6、中央のサイコロといちばん下のサイコロの間が9である。図では、いちばん上のサイコロの上の面が5、手前の面が上から順に3、6、4、右の面が上から順に6、2、5と見えている。いちばん下のサイコロの、机に接している面の目はどれか。

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サイコロの解き方（右回り・左回りの判定）

見分け方：問題文に「向きが違うだけで、まったく同じサイコロである」と書いてあり、基準の向きの図（図1）を手がかりに、別の向きのサイコロの見えない面を聞かれます。向かい合う面の和7だけでは、候補が2つ残ります。

右回り・左回りは、1つの角に集まる3つの面の目を、角を外から見て時計回り（右回り）に読んだ並びのことです。同じサイコロなら、どの向きに置いてもこの並びは変わりません。見取り図では、上・右・手前の3つの面が1点に集まる角（図の点）を見ます。この点のまわりを、紙の上で時計の針と同じ向きに上→右→手前の順に読むと時計回りです。

先頭の数を最後に送っても、同じ並びとみます。3→6→2 の3を最後に送ると 6→2→3、もう一度送ると 2→3→6 で、この3つは同じ並びです。

このページの例と例題は、図1の上の目が入る角で比べられる問題です。図1の底の目が入る角は位相図の中央では読めないので、3つの目をそれぞれ7から引いた目の角を図1で時計回りに読みます。その目を7から引いて元に戻すと、並びは逆回りになります。

例で確かめる向きを変えたサイコロの上の面

図1と同じサイコロを、図2のように手前が3、右が1になる向きに置きました。図2の上の面の目を決めます。

図1は上1・手前5・右4なので、和7で底6・奥2・左3です。図2の上の面は、手前の3・右の1と、その反対の4・6にはなれません。残る2と5のどちらかです。

上が2なら、図2の角を上→右→手前と読むと 2→1→3 です。図1の位相図で、上の1・左の3・奥の2が集まるのは、中央の正方形の左上の角です。中央の1から時計回りに読むと 1→3→2 です。先頭の1を最後に送ると 3→2→1、もう一度送ると 2→1→3 になるので、同じ並びです。

上が5なら 5→1→3 です。図1で1・3・5が集まる上・手前・左の角（中央の正方形の左下の角）は、時計回りに 1→5→3 です。先頭を送っても 5→3→1、3→1→5 にしかならず、5→1→3 にはならない逆回りです。なので、図2の上の面は2です。

自分で解いてみるサイコロの例題2（右回り・左回りの判定）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図1のサイコロと、向きが違うだけでまったく同じサイコロを、図2の向きに置いた。どちらのサイコロも、向かい合う面の目の和は7である。図1では上の面が4、手前の面が1、右の面が5、図2では上の面が2、手前の面が4と見えている。図2の右の面Aの目はどれか。

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サイコロの解き方（積んだり並べたりした立体の隠れた面）

見分け方：問題文に「このサイコロを奥へ1回転がし、次に左に1回転がした」のような転がし方と、「こうしてできた向きにそろえた同じサイコロを積んだ（並べた）」が書いてあります。聞かれるのは、その中の1個が、ほかのサイコロと接している面（または接していない面）の目の合計です。

例で確かめる奥へ1回、右に1回

図1のサイコロ（上6・手前2・右4）を、奥へ1回転がし、次に右に1回転がします。こうしてできた向きにそろえた同じサイコロ6個を、図2のように横に3個、2段に積みました。下の段の真ん中の1個が、ほかのサイコロと接している面の目の合計を求めます。

	図1	奥へ1回	右に1回
上	6
手前	2
底
奥
右	4
左

1. ・図1の和7：上6・手前2・右4
2. ・奥へ1回：手前の2が上に来る
3. ・右に1回：左の3が上に来る

図1の和7を書き込む ▶最後まで一気に書き込む

下の段の真ん中の1個は、左どなり・右どなり・真上にサイコロがあるので、接しているのは左・右・上の3面です（底は机に接しています）。左5と右2で7、上が3なので、合計は $7+3=10$ です。21から、接していない手前1・奥6・底4の合計11を引いても $21-11=10$ になります。

自分で解いてみるサイコロの例題3（積んだり並べたりした立体の隠れた面）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図1は1個のサイコロを斜め上の手前から見たもので、上の面の目が3、手前の面の目が5、右の面の目が1である。向かい合う面の目の和は7である。このサイコロを手前に1回転がし、次に左に1回転がした。ここでいう「転がす」とは、机に接している辺を軸にして90度倒すことをいう。図2は、こうしてできた向きにそろえた同じサイコロ6個を、横に3個ずつ、手前と奥の2列にして1段に並べたものである。図2で矢印が指す、手前の列の真ん中の1個が、ほかのサイコロと接している面の目の合計はいくらか。

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よくある間違い

見えている2面だけで向きを決めてしまう

上と手前の目が分かっても、右の面は和7だけでは2つの候補が残ります。上が3、手前が1なら、右は3と4、1と6のどれでもないので、残りの2か5です。どちらになるかは、同じサイコロかどうかを角の3つの目の回る向きで比べて決めます（タイプ2）。

転がす向きの横にある2面まで書きかえる

奥へ転がすときに動くのは、上・手前・底・奥の4面だけです。上2・手前6・右3のサイコロを奥へ1回転がすと、上は6、手前は5になりますが、右は3のままです。

接する面の和と、向かい合う面の和7を取り違える

向かい合う面の和7は、1個のサイコロの中の決まりです。接している2面の和は、2個のサイコロの間の決まりで、問題ごとに違う数です。タイプ1の例題で、どの境目でも7から引いてしまうと、答えは2になってしまいます。

接している面と、接していない面を取り違える

積んだ立体では、聞かれているのが「接している面」か「接していない面」かを、最後にもう一度確かめます。1個のサイコロで2つの合計を足すと、必ず21になります。

時間と捨てる判断

• 接する面の和のタイプは、位相図を書けば1〜2分で解けることが多いです。条件を順に当てはめれば埋まるので、取りにいきたいタイプです。
• 右回り・左回りの判定や、転がしてから積む問題は、位相図や表を何度か書くので2〜3分かかります。
• 同じ向きに何回も転がす問題は、4回ずつ省いて残りの回数だけ追えば短く済みます。
• 接している面の合計の最大を聞く問題のように、組み合わせを何通りも試す問題は、手が止まったら後回しにする手もあります。