5分でわかる集合の解き方

集合とは・ベン図の公式

30秒でわかる集合

集合の問題は、人を「犬を飼っている人」「猫を飼っている人」のような仲間（集合）に分け、何人いるかを求める問題です。仲間を円で表して重ねた図をベン図と呼び、円の重なりが「両方に当てはまる人」です。犬か猫の少なくともどちらかを飼っている人（犬だけ・猫だけ・両方を合わせた人）を「少なくとも一方」と呼びます。

2つの集合

$\text{少なくとも一方} = \text{一方の人数} + \text{もう一方の人数} - \text{両方}$

どちらでもない

$\text{どちらでもない} = \text{全体} - \text{少なくとも一方}$

3つの集合

$\text{少なくとも1つ} = \text{3つの円の人数の合計} - \text{「両方」の人数3つの合計} + \text{3つすべて}$

ベン図の円や外枠で区切られた1つ1つの部分を、このページでは部屋と呼びます。円が2つなら部屋は4つ、3つなら8つ（どの円にも入らない外側を含む）です。

円が3つの問題（たとえば読書・料理・園芸）では、問題文の「読書と料理の両方」は、ふつう3つすべてに当てはまる人も含みます。「読書と料理の2つだけ」とは違うので、どちらの意味かを最初に確かめます。

試験での出方（集合の問題）

東京都でとくによく出る単元です。ベン図や表に数を書き込めれば短い時間で解ける問題が多く、取りこぼしたくない単元です。

よく出るタイプ

集合の問題は、次の5つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1ベン図の部屋を数で埋める円の人数と「両方」の人数から、「だけ」や外側を出す→
• タイプ2重なりの最小・最大「少なくとも何人」「多くても何人」→
• タイプ33つの二択を表で数える大人か子ども・男性か女性・県内か県外のように、2つに分ける見方が3つある→
• タイプ4重ならない選択をクロス表で3つから1つだけ選び、男性・女性などに分けて数える→
• タイプ5全体の人数が分からない「ちょうど1つ」「ちょうど2つ」の人数から式を立てる→

このほか、泉には「ある研修を修了した人は、全員が別の研修も修了している」のように、1つの円がもう1つの円の中にすっぽり入る問題もあります → 問題を解く

集合の解き方（ベン図の部屋を数で埋める）

見分け方：問題文に「読書をしている人は39人」「読書と料理の両方は13人」「3つすべては4人」のような人数が並び、「どれもしていない人」や「読書だけの人」の人数を聞かれます。

3つの円のベン図は、下の8つの部屋に分かれます。

例で確かめる読書・料理・園芸の趣味

ある町の住民90人に、趣味として読書・料理・園芸をしているかを聞きました。読書は39人、料理は34人、園芸は26人です。読書と料理の両方は13人、読書と園芸の両方は9人、料理と園芸の両方は10人、3つすべては4人です。どれもしていない人は何人でしょうか。

部屋ごとの人数を内側から埋める

	人数
3つすべて
読書と料理だけ
読書と園芸だけ
料理と園芸だけ
読書だけ
料理だけ
園芸だけ
どれでもない

1. ・3つすべて：問題文から4人
2. ・2つだけ：「両方」は3つすべての4人を含む
3. ・読書の円：読書は39人
4. ・料理の円：料理は34人
5. ・園芸の円：園芸は26人
6. ・外側：円の中の7部屋は21＋15＋11＋9＋5＋6＋4＝71人

3つすべてを書き込む ▶最後まで一気に書き込む

公式でも確かめられます。少なくとも1つは $39+34+26-(13+9+10)+4=71$ 人で、表の71人と同じです。

集合の問題（例題）：3つの円

自分で解いてみる集合の例題1（ベン図の部屋を数で埋める）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

ある学校の生徒120人に、美術館・博物館・動物園に行ったことがあるかを調べたところ、次のことが分かった。美術館だけに行ったことがある生徒は何人か。

ア　美術館は50人、博物館は42人、動物園は47人であった。
イ　美術館と博物館の両方は16人、博物館と動物園の両方は14人、美術館と動物園の両方は15人であった（いずれも3つすべての生徒を含む）。
ウ　3つのどこにも行ったことがない生徒は21人であった。

119人221人324人429人534人

答えと解説を見る

集合の「少なくとも」の解き方（重なりの最小・最大）

見分け方：問題文に「両方」の人数が書かれておらず、「少なくとも何人いるか」「多くても何人か」や、「確実にいえるのはどれか」と聞かれます。項目が4つ・5つあってベン図が描けない問題も、このタイプです。

集合の問題（例題）：少なくとも何人

集合の解き方（3つの二択を表で数える）

見分け方：問題文に「全員、大人か子どものどちらかであり、男性か女性のどちらかであり、県内か県外のどちらかである」のように、2つに分ける見方が3つ書いてあります。

2つに分ける見方が3つあると、組み合わせは $2 \times 2 \times 2 = 8$ 通りで、3つの円のベン図の8つの部屋と同じです。ここでは8つのマスを持つ表に人数を書き込みます（このような表をキャロル表と呼ぶこともあります）。表にすると、行の合計からどのマスを引けばよいかが一目で分かります。

集合の問題（例題）：表で数える

集合の解き方（重ならない選択をクロス表で数える）

見分け方：問題文に「3つのうち1つだけを選んだ」「全員がいずれか1つを選び、どれも選ばなかった人はいない」と書いてあり、さらに男性・女性のような分け方があります。選んだものが重ならないので、ベン図ではなく、2つの分け方を行と列にした表（クロス表）で数えます。

集合の問題（例題）：クロス表

集合の解き方（全体の人数が分からないとき）

見分け方：問題文に「調べた人の総数は分からない」とあり、3つの円の人数と、「少なくとも1つ」「ちょうど1つ」「ちょうど2つ」「2つ以上」のどれかの人数が書いてあります。「ちょうど2つ」は2つだけの人で、3つすべての人は入りません。

3つの円の人数の合計（円の和）では、1つの円だけの人は1回、2つだけの人は2回、3つすべての人は3回数えられます。

集合の問題（例題）：全体が分からない

自分で解いてみる集合の例題5（全体の人数が分からない）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

ある会社で、運動会・夏祭り・忘年会の3つの社内行事への参加について調べた。社員の総数は分からない。次のア〜ウが分かっているとき、3つの行事すべてに参加した者は何人か。

ア　運動会に参加した者は44人、夏祭りは57人、忘年会は62人であった。
イ　少なくとも1つに参加した者は115人であった。
ウ　ちょうど2つに参加した者は、3つすべてに参加した者の4倍であった。

18人212人316人424人532人

答えと解説を見る

集合の問題でよくある間違い

「読書をしている」と「読書だけ」を取り違える

「読書をしている人」は読書の円の4部屋の合計、「読書だけ」は円の外寄りの1部屋です。タイプ1の例なら39人と21人で、大きく違います。

3つの円の公式で、3つすべてを足し戻し忘れる

3つすべての人は、円の和で3回足され、「両方」の和で3回引かれて、0回になっています。だから最後に1回足します。タイプ1の例（読書・料理・園芸）で足し忘れると、円の和 $39+34+26=99$ から「両方」の和 $13+9+10=32$ を引いただけの $99-32=67$ 人になり、正しい71人より、3つすべての4人だけ少なくなります。

「ちょうど2つ」と「2つ以上」を混ぜる

「2つ以上」は「ちょうど2つ」に3つすべてを足した人数です。タイプ1の例では、ちょうど2つが $9+5+6=20$ 人、2つ以上は $20+4=24$ 人です。

どれにも当てはまらない人を除かずに最小を出す

ある講習の受講者50人のうち、課題1を出した人は40人、課題2は38人、課題3は36人で、1つも出さなかった人が4人いるとします。3つすべてを出した人の最小は、1つも出さなかった4人を除いた46人で考えます。46人のうち、課題1を出さなかった人は $46-40=6$ 人、課題2は $46-38=8$ 人、課題3は $46-36=10$ 人です。この人たちが重ならないように並べると合わせて $6+8+10=24$ 人なので、最小は $46-24=22$ 人です。50人のまま $50-(10+12+14)=14$ 人とすると、1つも出さなかった4人を「出さなかった人」に3回数えてしまうので、誤りです。

時間と捨てる判断

• 3つすべてと「両方」が書いてあるタイプ1は、内側から埋めれば1〜2分で解けることが多く、取りにいきたい問題です。
• 「ちょうど2つ」「2つ以上」が出てきたら、まずタイプ5の2つの式を書くと速くなります。
• 4つ・5つの項目の「確実にいえる」問題は、選択肢ごとに最小・最大を出すので時間がかかります。2分たって図にできなければ、後回しにする手もあります。
• 迷ったら「どの部屋の人数を聞かれているか」に戻りましょう。ベン図か表に、その部屋の場所を書いてから数を入れます。