5分でわかる命題・論理の解き方

ある料理教室の生徒について、次のア〜ウが分かっています。

ア　魚をさばける人は、包丁を研げる。
イ　天ぷらを揚げられない人は、包丁を研げない。
ウ　パンを焼ける人は、天ぷらを揚げられない。

「魚をさばける」を「魚」、「包丁を研げる」を「研ぐ」、「天ぷらを揚げられる」を「天ぷら」、「パンを焼ける」を「パン」と書きます。

イの対偶は、仮定と結論を入れ替えて線を付けると「『研ぐでない』ではない → 『天ぷらでない』ではない」になります。「『でない』ではない」は元に戻るので、$\text{研ぐ} \rightarrow \text{天ぷら}$ です。ウの対偶の「天ぷら」も同じです。

アの結論は「研ぐ」です。「研ぐ」から始まる矢印は、イの対偶 $\text{研ぐ} \rightarrow \text{天ぷら}$ です。その結論「天ぷら」から始まる矢印は、ウの対偶 $\text{天ぷら} \rightarrow \overline{\text{パン}}$ です。つなぐと、次の鎖になります。

$\text{魚} \rightarrow \text{研ぐ} \rightarrow \text{天ぷら} \rightarrow \overline{\text{パン}}$

鎖の両端から「魚をさばける人は、パンを焼けない」がいえます。その対偶「パンを焼ける人は、魚をさばけない」もいえます。一方、「天ぷらを揚げられる人は、魚をさばける」は鎖を逆向きにたどっているので、確実とはいえません。

ある遊園地の来園者について、次のア・イが分かっています。

ア　ジェットコースターか観覧車に乗った人は、記念写真を買い、園内マップももらった。
イ　記念写真を買った人は、出口でアンケートに答えた。

「ジェットコースターに乗った」を「コースター」、「観覧車に乗った」を「観覧車」、「記念写真を買った」を「写真」、「園内マップをもらった」を「マップ」、「アンケートに答えた」を「アンケート」と書くと、アは $(\text{コースター} \text{ または } \text{観覧車}) \rightarrow (\text{写真} \text{ かつ } \text{マップ})$ です。仮定が「または」、結論が「かつ」なので、どちらも分けられます。

• $\text{コースター} \rightarrow \text{写真}$、$\text{コースター} \rightarrow \text{マップ}$
• $\text{観覧車} \rightarrow \text{写真}$、$\text{観覧車} \rightarrow \text{マップ}$

イの $\text{写真} \rightarrow \text{アンケート}$ とつなぐと、$\text{コースター} \rightarrow \text{写真} \rightarrow \text{アンケート}$ と $\text{観覧車} \rightarrow \text{写真} \rightarrow \text{アンケート}$ ができます。

アの対偶は、ド・モルガンで「かつ」と「または」が入れ替わり、$(\overline{\text{写真}} \text{ または } \overline{\text{マップ}}) \rightarrow (\overline{\text{コースター}} \text{ かつ } \overline{\text{観覧車}})$ です。仮定が「または」なので分けられ、$\overline{\text{写真}} \rightarrow (\overline{\text{コースター}} \text{ かつ } \overline{\text{観覧車}})$ が使えます。イの対偶 $\overline{\text{アンケート}} \rightarrow \overline{\text{写真}}$ とつなぐと、「アンケートに答えなかった人は、ジェットコースターにも観覧車にも乗っていない」がいえます。

一方、「園内マップをもらった人は、ジェットコースターに乗った」は $\text{コースター} \rightarrow \text{マップ}$ の逆なので、確実とはいえません。

「急行が止まる駅には、売店がある」（$\text{急行} \rightarrow \text{売店}$）が正しいとき、4つの形を並べます。

確実にいえるのは対偶の「売店がない駅には、急行が止まらない」だけです。売店があっても急行が止まらない駅（各駅停車だけが止まる駅）があってもよいので、逆の「売店がある駅には、急行が止まる」はいえません。その駅は急行が止まらないのに売店があるので、裏の「急行が止まらない駅には、売店がない」も成り立ちません。逆と裏は互いに対偶なので、いつもそろって成り立つか、そろって成り立たないかのどちらかです。

遠足で動物園に行った子どもについての、3つの推論を判定します。

• 例1：パンダを見た子はゾウも見た。ゾウを見た子はキリンも見た。ゆえに、キリンを見なかった子はパンダを見なかった。→ $\text{パンダ} \rightarrow \text{ゾウ} \rightarrow \text{キリン}$ とつながり、「ゆえに」の文はその両端（$\text{パンダ} \rightarrow \text{キリン}$）の対偶です。正しい。
• 例2：パンダを見た子はゾウも見た。パンダを見た子はキリンも見た。ゆえに、ゾウを見た子はキリンも見た。→ パンダが2本とも仮定にあり、つながりません。正しくない。
• 例3：ゾウを見た子はパンダも見た。キリンを見た子はパンダも見た。ゆえに、ゾウを見た子はキリンも見た。→ パンダが2本とも結論にあり、つながりません。正しくない。

A・B・Cの3人が、ある勉強会に出たかどうかについて、次のア〜ウが分かっています。表の○は出た、×は出なかったです。

ア　AとBは、ともに出たか、ともに出なかったかのどちらかである。
イ　Bが出たならば、Cは出なかった。
ウ　Cが出なかったならば、Aは出た。

残ったのは、行2（Aは出た・Bは出た・Cは出なかった）と行7（Aは出なかった・Bは出なかった・Cは出た）です。どちらの行でも成り立つ「AとCは、ちょうど一方だけが出た」「Bが出たならば、Aも出た」は確実にいえます。だれが出たかは1通りには決まりません。