4分でわかる勝敗の解き方

勝敗とは・勝敗表の書き方

斜めに並ぶ「—」をはさんで向かい合う2マスが、同じ1試合です。引き分けは両方のマスに△を書きます。

勝敗の公式：リーグ戦とトーナメント戦の試合数

リーグ戦：1チームは自分以外の $n-1$ チームと試合をするので、$n$ チーム分で $n(n-1)$。ただし、AとBの試合をA側とB側で2回数えているので、2で割ります。

勝ち数の合計：引き分けがなければ、1試合で勝ちと負けが1つずつ生まれるので、全チームの勝ち数の合計＝負け数の合計＝試合数です。

トーナメント戦：1試合で1チームが負けて抜け、最後に優勝の1チームが残ります。抜けるのは $n-1$ チームなので、試合数も $n-1$ です。

試験での勝敗の問題の出方

特別区でよく出る単元です。表や図を書けば短い時間で解ける問題が多く、特別区を受けるなら落としたくない単元です。

よく出るタイプ

勝敗の問題は、次の4つのタイプに分けられます。

• タイプ1リーグ戦の勝敗表「3勝1敗」「AはBに勝った」から表を埋める→
• タイプ2勝ち点制と引き分け勝ち3点・引き分け1点のような点数の決まり→
• タイプ3トーナメント戦の勝ち上がり勝った数や得点・失点から、どこで負けたかを決める→
• タイプ4トーナメント戦の場合分け優勝した可能性がある人をすべて挙げる→

このほか、次のタイプも出ます。

• ダブルス・団体戦（組が勝てば、組の2人にそれぞれ1勝ずつ数える）→ 必修の問題を解く

勝敗の解き方（リーグ戦の勝敗表）

見分け方：問題文に「総当たり」「リーグ戦」とあり、「Aは3勝1敗」のような成績や「BはCに勝った」のような1試合ずつの結果が並びます。「引き分けはない」と書いてあることが多いです。

勝敗の解き方（勝ち点制と引き分け）

見分け方：問題文に「勝ちは3点、引き分けは1点、負けは0点」のような点数の決まり（この点数を勝ち点といいます）が書いてあるか、成績に「2勝1分1敗」（1分は引き分け1つ）のように引き分けが出てきます。「引き分けた試合の組合せ」を聞かれることもあります。

勝敗の解き方（トーナメント戦の勝ち上がり）

見分け方：問題文に「トーナメント戦」「勝ち抜き」とあり、組合せの図か表がついています。「Aは2勝した」のような勝った数や試合の数、得点と失点の合計が書いてあります。「3位決定戦」がつくこともあります。

例で確かめる4チームと3位決定戦

A〜Dの4チームが、下の図のトーナメント戦をしました。1回戦で勝った2チームが決勝、負けた2チームが3位決定戦をするので、どのチームも2試合ずつです。

分かっているのは次の2つです。表の「—」は、その試合に出ていないという意味です。

ア　Cは2勝した。
イ　Aは1勝もしていない。

	1回戦	決勝	3位決定戦	順位
A
B
C
D

1. ・ア：Cは2勝
2. ・イ：Aは1勝もしていない
3. ・残り：Bは決勝へ

条件アを書き込む ▶最後まで一気に書き込む

自分で解いてみる勝敗の例題3（トーナメント戦の得点と失点）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

A〜Dの4チームが、水球のトーナメント戦を行った。1回戦はAとC、BとDが対戦し、勝った2チームが決勝を、負けた2チームが3位決定戦を行った。引き分けはなかった。全試合が終わったとき、各チームの得点の合計と失点の合計は次のとおりであった。このとき、確実にいえるのはどれか。

チーム	得点の合計	失点の合計
A	7	2
B	0	3
C	2	3
D	3	4

1Dが優勝した。2Bは3位になった。3決勝で、Aは4点を取った。4Cは2位になった。5決勝のスコアは4対1であった。

答えと解説を見る

勝敗の解き方（トーナメント戦の場合分け）

見分け方：「優勝した可能性がある者をすべて挙げているのはどれか」「勝敗の組合せは何通りあるか」と聞かれます。条件は「1年生が2年生に勝った試合はちょうど1試合」のように、2つのグループの間の試合の数で書かれていることが多いです。

例で確かめる2年生と1年生の4人

A〜Dの4人が、下の図の組合せで卓球のトーナメント戦をしました。AとBは2年生、CとDは1年生です。1年生が2年生に勝った試合は、ちょうど1試合でした。優勝した可能性があるのはだれでしょうか。

樹形図の文字は、その試合に勝った人です。右の列は、1年生が2年生に勝った試合の数です。

1年生が優勝する枝は残りません。1年生が1人だけ勝ち上がると第1試合か第2試合と決勝で2試合、2人そろうと第1試合と第2試合だけで2試合になるからです。

自分で解いてみる勝敗の例題4（トーナメント戦の場合分け）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

A〜Eの5人が、次の組合せで囲碁のトーナメント戦を行った。引き分けはなかった。

試合	対戦する2人
第1試合	AとB
第2試合	CとD
第3試合	第1試合の勝者と第2試合の勝者
決勝	第3試合の勝者とE

CとEは中学生、A・B・Dは高校生である。中学生が高校生に勝った試合は、ちょうど1試合であった。このとき、優勝した可能性がある者をすべて挙げているのはどれか。

1A、B、Eの3人2A、Bの2人3C、Eの2人4A、B、D、Eの4人5A、B、C、Eの4人

答えと解説を見る

よくある間違い

向かい合うマスを書き忘れる

「AはBに勝った」をAの行にだけ書くと、Bの成績を数えるときにAとの試合を落とします。1試合を書くたびに、向かい合うマスにも書きます。

試合数・引き分けの数を2で割り忘れる

5チームの総当たりを $5 \times 4 = 20$ 試合とするのは誤りです。AとBの試合を両方の側で数えているので、$20 \div 2 = 10$ 試合です。引き分けの数も同じで、例題2では足すと6、引き分けた試合は $6 \div 2 = 3$ 試合です。

「ありうる」を「確実」と思う

表の埋め方が2通り以上残ったら、どれでも成り立つ選択肢だけが「確実にいえる」です。例題1のB・C・Dの3試合のように、空欄が残ったマスの選択肢は選びません。

3位決定戦に出るチームを取り違える

3位決定戦に出るのは、準決勝（決勝の1つ前）で負けた2チームです。8チームの大会なら、1回戦で負けた4チームは出ません。

時間の目安と捨てる判断

• リーグ戦の勝敗表と勝ち点を分けるタイプは、表を書けば2〜3分で解けることが多いタイプです。
• 引き分けの相手を絞る問題やトーナメント戦の場合分けは場合が増えやすいので、2分ほど書いて進まなければ後回しにする手もあります。
• 表を埋めたら、勝ち数の合計（引き分けがあれば勝ち点の合計）で確かめます。