【数量条件】解き方とコツ｜例題・練習問題つき

数量条件とは・解き方の基本

30秒でわかる数量条件

数量条件は、人や物の個数・点数・金額・カードの数について、「合わせて何個」「差は3」「2倍」「以上・以下」のような条件から、確実にいえることや1つに決まる数を見つける問題です。

合計の表

人と品物の数を表に書き、右端に1人ずつの合計、下端に品物ごとの合計を書く。空いたマスは合計から引き算で出す

候補の書き出し

「和が9」「差が5」のような条件は、当てはまる数の組を全部書き出してから絞る

最大・最小

いちばん多い（少ない）場合を聞かれたら、回数や個数を1つずつ変えて表にし、0より少なくならない範囲の両端を読む

	りんご	みかん	合計
A	2	3	5
B			4
C		4	6
合計	7	8

Cの行：Cは合わせて6個
りんごの列：りんごは合わせて7個
Bの行：Bは合わせて4個

3人が買ったりんごとみかんの個数。右の数が1人ずつの合計、下の数が品物ごとの合計です

設問は「確実にいえるのはどれか」か「何個（何人）か」です。条件に合う答えが2通り以上残ったら、そのすべてで成り立つ選択肢だけが「確実にいえる」ものです。

試験での出方（数量条件の問題）

受験先ごとの出やすさ（泉の集計による参考値）
国家総合職	★★★	国家一般職	★★☆
国家専門職	★★☆	地方上級	★★★
東京都	★☆☆	特別区	★★☆
市役所	★☆☆

国家総合職と地方上級でよく出ます。問題の形の幅が広く、初めて見る形だと時間がかかります。対応関係の解き方で表の書き方を先に読んでおくと進めやすくなります。

よく出るタイプ

数量条件の問題のうち、よく出るのは次の5つのタイプです。

タイプ1カードの数の和・差・積「2枚の和は9」「差は5」から、だれがどの数かを決める
タイプ2ベン図で人数を分ける「3つすべて」「2つだけ」「英語だけ」の人数を、円を重ねた図で分ける
タイプ3金額と個数の内訳値段と、合計の個数・代金から、何を何個買ったか
タイプ4勝ち負けと得点の最大・最小勝ち・負け・引き分けの点と得点の差から、考えられる得点
タイプ5受け渡しの逆算何回か受け渡した後の数から、はじめの数を出す

このほか、泉には次のタイプの問題もあります（どれも、まず解いておきたい「必修」の1問です）。

計算のきまりを逆にたどる（入れた数と出てきた数から、決まった計算を見つける）→ 問題を解く
得点のきまりがあるカードゲーム（カードの色で、得点が自分か隣の人に入る）→ 問題を解く
不等式で範囲を絞る（合計と「何倍」「以上・以下」から、考えられる範囲を出す）→ 問題を解く

タイプ1カードの数の和・差・積

数量条件の解き方（カードの数の和・差・積）

見分け方：1〜8のような決まった数のカード（番号札・くじ）を何人かで分けて持ち、問題文に「Bの2枚の和は9」「Cの2枚の差は5」のように、持っている数どうしの関係が書いてあります。

解き方の手順

1
条件ごとに候補を書き出す
「和が7」なら、使えるカードの中で足して7になる2枚の組（1と6、2と5、3と4）を全部書きます。差・積も同じです。
2
候補の少ない人から場合を分ける
候補が2組しかない人がいたら、「Aが1と5のとき」「Aが2と6のとき」のように、2組のそれぞれを仮に決めて別々に調べます（これを場合分けと呼びます）。
3
使った数をほかの人の候補から消す
同じカードを2人が持つことはないので、決めた数を含む組は、ほかの人の候補から消えます。
4
合わない場合を捨てる
行き場のないカードが出たら、その場合は条件と合いません（矛盾）。残った場合で選択肢を確かめます。

例で確かめる1〜6のカードを3人で分ける

1〜6のカードが1枚ずつあり、A・B・Cの3人が2枚ずつ持っています。次のア〜ウから、だれがどのカードを持っているかを決めます。

ア　Aの2枚の差は4。
イ　Bの2枚の積は12。
ウ　Cの2枚の和は8。

条件	当てはまる2枚の組
ア　Aの差が4	1と5、2と6
イ　Bの積が12	2と6、3と4
ウ　Cの和が8	2と6、3と5

候補が2組ずつなので、Aで場合を分けます。

場合1（Aが2と6）：Bは3と4だけで、Cに残る1と5は和が6です。ウに合いません。
場合2（Aが1と5）：Bは2と6か3と4です。Bが2と6だと、Cに残る3と4は和が7で、ウに合いません。なので、Bは3と4、Cは2と6（和8）に決まります。

表は、行にカードの数、列に人をとります。右の「1」はどのカードも1人だけが持つこと、下の「2」は1人が2枚ずつ持つことです。

場合1：Aが2と6

矛盾

	A	B	C	合計
1	×	×	○	1
2	○	×	×	1
3	×	○	×	1
4	×	○	×	1
5	×	×	○	1
6	○	×	×	1
合計	2	2	2

矛盾：Cに残る1と5は和が6で、ウに合わない

場合2：Aが1と5

	A	B	C	合計
1	○	×	×	1
2	×	×	○	1
3	×	○	×	1
4	×	○	×	1
5	○	×	×	1
6	×	×	○	1
合計	2	2	2

自分で解いてみる数量条件の例題1（カードの数の和・差・積）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

1〜8の数が1つずつ書かれた8枚のカードを、A〜Dの4人が2枚ずつ受け取った。次のア〜ウが分かっているとき、確実にいえるのはどれか。

ア　Aの2枚の数の差は6である。
イ　Bの2枚の数の和は、Aの2枚の数の和と等しい。
ウ　Cの2枚のうち、大きいほうの数は小さいほうの数の2倍である。

✎ 表を使って解いてみましょう。マスを押すたびに ○ → × → 空と切り替わります。

	A	B	C	D	計
1					1
2					1
3					1
4					1
5					1
6					1
7					1
8					1
計	2	2	2	2

正解は 4

アの候補は「1と7」「2と8」、ウの候補は「1と2」「2と4」「3と6」「4と8」です。

Aが2と8だとすると、Aの和は10なので、Bは残る1・3・4・5・6・7から和が10の組で「3と7」か「4と6」です。Cは2も8も使えないので「3と6」しかありません。Bが3と7なら3が、4と6なら6がCとぶつかるので、この場合は矛盾です。よってAは1と7です。

Aの和は8なので、Bは「2と6」か「3と5」です。Cは、ウの候補からAとBのカードを含まない組です。Bが2と6ならCは4と8、Dは3と5。Bが3と5ならCは2と4か4と8で、Dは残りの2枚です。答えは3通り残り、どれでもAは1と7なので、正解は選択肢4です。選択肢2と選択肢3は3通りの一部でしか成り立たないので、確実とはいえません。選択肢1と選択肢5は、Aが2と8の場合（Bの和は $2+8=10$ ）を捨て忘れると選んでしまいます。

答えの表（空欄は決まらないマス）

	A	B	C	D	合計
1	○	×	×	×	1
2	×				1
3	×		×		1
4	×	×	○	×	1
5	×		×		1
6	×		×		1
7	○	×	×	×	1
8	×	×			1
合計	2	2	2	2

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（ゼッケンの番号の和と差）

タイプ2ベン図で人数を分ける

数量条件の解き方（ベン図で人数を分ける）

見分け方：3つの講座・資格・言語などについて、問題文に「少なくとも1つ」「3つすべて」「2つだけ」「英語だけ」のように書いてあり、人数を聞かれます。

3つのグループを円で表し、重ねて描いた図をベン図と呼びます。円が重なると、人は下の図の7つの部屋に分かれます。

3つの円が重なったベン図。左上が英語、右上が漢字、下が数学の円。円の外側寄りの3部屋が英語だけ・漢字だけ・数学だけ、2つの円だけが重なる3部屋が2つだけ、真ん中が3つすべて — 7つの部屋の場所

解き方の手順

1
ベン図を描き、7つの部屋に分ける
問題文の人数を、どの部屋の話かを確かめながら書き込みます。「いない」部屋には0を書きます。
2
内側から埋める
3つすべて → 2つだけ → 1つだけの順です。「英語と漢字の両方」は3つすべての人も含むので、そこから3つすべてを引くと「2つだけ」になります。
3
円の人数から、ほかの部屋を引く
「英語を受けた人」は英語の円の4部屋の合計です。円の人数から、円の中のほかの3部屋を引くと「英語だけ」が出ます。
4
分からない部屋は文字でおく
「同じ人数」「4人多い」と書いてある部屋は、1つの文字（たとえば $x$ 人）で表し、全体の人数の式を立てます。

例で確かめる3つの検定を受けた人数

ある学年で、英語・漢字・数学の3つの検定のうち、少なくとも1つを受けた人を調べました。英語は28人、漢字は25人、数学は22人です。英語と漢字の両方を受けた人は10人、英語と数学の両方は8人、漢字と数学の両方は7人、3つすべてを受けた人は4人です。1つだけを受けた人は何人でしょうか。

部屋ごとの人数を内側から埋める

	人数
3つすべて
英語と漢字だけ
英語と数学だけ
漢字と数学だけ
英語だけ
漢字だけ
数学だけ

3つすべて：問題文から4人
2つだけ：「両方」の人数は3つすべての4人を含む
英語の円：英語は28人
漢字の円：漢字は25人
数学の円：数学は22人

1つだけを受けた人は $14+12+11=37$ 人です。

3つの円が重なったベン図。左上が英語28人、右上が漢字25人、下が数学22人の円。真ん中の3つすべてに4人、英語と漢字だけに6人、英語と数学だけに4人、漢字と数学だけに3人、英語だけに14人、漢字だけに12人、数学だけに11人 — 1つだけの3部屋（橙）を足すと37人

自分で解いてみる数量条件の例題2（ベン図で人数を分ける）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

ある会社の社員50人は、簿記・英検・秘書の3つの資格のうち、少なくとも1つを持っている。次のア〜オが分かっているとき、秘書の資格を持っている社員は何人か。

ア　3つすべてを持っている社員は2人である。
イ　簿記を持っている社員は24人である。
ウ　簿記と英検の2つだけを持っている社員は5人、簿記と秘書の2つだけを持っている社員は3人である。
エ　英検と秘書の2つだけを持っている社員は4人である。
オ　英検だけを持っている社員は、秘書だけを持っている社員より4人多い。

7つの部屋に人数を書き込んで解く

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（3つの講座の受講者）

タイプ3金額と個数の内訳

数量条件の解き方（金額と個数の内訳）

見分け方：問題文に品物ごとの値段（1個50円など）と、「合わせて10個」「全部で800円」のような個数と代金の合計が書いてあり、何を何個買ったかを決めます。

解き方の手順

1
全部いちばん安い品物だったら、と考える
個数の合計に安い値段を掛け、実際の代金から引きます。この差が、高い品物を買ったことで増えた分です。
2
増えた分の式を立てる
高い品物1個ごとに、安い品物より何円高いかを出します。「（高くなる額）×（その品物の個数）」を足したものが、増えた分と等しくなります。
3
高くなる額の大きい品物から候補を書き出す
その品物の個数を0個から順に入れ、増えた分からその品物の分を引いた残りが、もう1つの品物の高くなる額で割り切れるかを見ます。安い品物は合計の個数から引きます。
4
「1個以上」などの条件で選ぶ
個数は0以上の整数です。「どれも1個以上」と書いてあれば、0個の候補を外します。

例で確かめるあめ・ガム・チョコを10個で800円

1個50円のあめ、80円のガム、120円のチョコを合わせて10個買い、ちょうど800円払いました。どれも1個以上買っています。それぞれ何個買ったでしょうか。

10個とも一番安いあめだとすると、 $50 \times 10=500$ 円です。実際は800円なので、 $800-500=300$ 円多く払っています。ガムはあめより30円、チョコは70円高いので、

$30 \times \text{ガムの個数} + 70 \times \text{チョコの個数} = 300$

式全体を10で割り、チョコの分を右側へ移すと、 $3 \times \text{ガムの個数} = 30 - 7 \times \text{チョコの個数}$ です。高くなる額の大きいチョコの個数を0個から順に入れ、右側が3で割り切れるか（ガムの個数が整数になるか）を見ます。

チョコの個数で候補を書き出す

	ガムの個数の3倍	ガム	あめ	合うか
チョコ0個	30	10個	0個	×
チョコ1個	23			×
チョコ2個	16			×
チョコ3個	9	3個	4個	○
チョコ4個	2			×

3で割り切れるのはチョコが0個と3個のときだけで、0個のときはあめが0個になり「どれも1個以上」に合いません。チョコ3個ならガムは $9 \div 3=3$ 個、あめは $10-3-3=4$ 個です（ $200+240+360=800$ 円）。

自分で解いてみる数量条件の例題3（金額と個数の内訳）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

ある店では、りんごを1個150円、なしを1個200円、ももを1個350円で売っている。A、Bの2人がこの店で買い物をした。次のア、イが分かっているとき、確実にいえるのはどれか。

ア　Aは3種類を合わせて8個買い、1,900円払った。Aはどの種類も1個以上買った。
イ　Bはなしとももだけを合わせて7個買い、Aより100円多く払った。

正解は 4

A：8個ともりんごなら $150 \times 8=1200$ 円で、実際は700円多く払っています。なしはりんごより50円、ももは200円高いので、 $50 \times \text{なしの個数} + 200 \times \text{ももの個数} = 700$ 、式全体を50で割って $\text{なしの個数} + 4 \times \text{ももの個数} = 14$ です。ももが0個ならなし14個、1個ならなし10個で、どちらも8個を超えます。2個ならなし6個でりんごは $8-2-6=0$ 個、3個ならなし2個でりんごは $8-3-2=3$ 個、4個だとなしが $-2$ 個です。どの種類も1個以上なので、Aはりんご3個・なし2個・もも3個です。

B：払った金額はAより100円多い2,000円です。7個ともなしなら $200 \times 7=1400$ 円で、600円多く払っています。ももはなしより150円高いので、ももは $600 \div 150=4$ 個、なしは3個です。

ももは合わせて $3+4=7$ 個で、正解は選択肢4です。選択肢1は「どれも1個以上」を確かめずにりんご0個の候補を選んだとき、選択肢2はBのなしとももの個数を取り違えたとき、選択肢5は「100円多い」を「100円少ない」と読んだときに出ます。

2人が買った個数と代金

	りんご	なし	もも	個数	代金
A	3個	2個	3個	8個	1,900円
B	0個	3個	4個	7個	2,000円

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（文具を3個ずつ買う）

タイプ4勝ち負けと得点の最大・最小

数量条件の解き方（勝ち負けと得点の最大・最小）

見分け方：問題文に「勝つと4点、負けると0点、引き分けは1点ずつ」のような得点のきまりと回数、2人の得点の差が書いてあり、「考えられる最も多い（少ない）点数」を聞かれます。

解き方の手順

1
1回ごとの差を出す
Aが勝つと、AはBより（勝ちの点−負けの点）だけ多くもらいます。Aが負けると同じだけ少なく、引き分けは差がつきません。
2
勝ち越しの回数を出す
Aの勝ちの回数からAの負けの回数を引いた数を、勝ち越しの回数と呼びます。得点の差 ÷ 1回の差が勝ち越しの回数です。
3
勝ちの回数ごとに表にする
負け＝勝ち−勝ち越し、引き分け＝全部の回数−勝ち−負けです。負けや引き分けが0回より少なくなったら、そこから先はありえません。
4
表の両端を読む
いちばん多い・少ない得点は、表の上の端と下の端に出ます。

例で確かめる輪投げを6回して8点差

AとBが輪投げで6回勝負しました。1回ごとに、勝った人は4点、負けた人は0点、引き分けなら2人とも1点もらいます。6回終わったとき、AはBより8点多くもらっていました。Aの得点は、いちばん多くて何点、いちばん少なくて何点でしょうか。

1回勝つと、AはBより $4-0=4$ 点多くもらいます。差は8点なので、勝ち越しは $8 \div 4=2$ 回です。負けは「勝ち−2」回で0回以上なので、Aの勝ちは2回以上です。

Aの勝ちの回数ごとの得点

	Aの負け	引き分け	Aの得点
Aが2勝
Aが3勝
Aが4勝

Aが2勝：負けは2−2＝0回
Aが3勝：負けは3−2＝1回
Aが4勝：負けは4−2＝2回

Aの得点は、いちばん多くて16点（4勝2敗）、いちばん少なくて12点（2勝4引き分け）です。勝ちと負けが1回ずつ増えると引き分けが2回減り、Aは勝ちの4点と負けの0点が増え、引き分け2回分の2点が減るので、 $4+0-2=2$ 点増えます。

自分で解いてみる数量条件の例題4（勝ち負けと得点の最大・最小）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

AとBの2人が9回勝負をした。1回ごとに、勝った者は6点、負けた者は2点、引き分けのときは2人とも3点をもらう。9回を終えたとき、AはBより8点多くもらっていた。Aの得点として考えられる最も多い点数はどれか。

正解は 4

1回勝つと、AはBより $6-2=4$ 点多くもらいます。差は8点なので、勝ち越しは $8 \div 4=2$ 回です。

Aの勝ちを2回から増やしていくと、負けは「勝ち−2」回、引き分けは「9−勝ち−負け」回です。5勝なら負け3回・引き分け1回で、Aは $6 \times 5+2 \times 3+3 \times 1=39$ 点です。6勝だと負けが4回で、引き分けは $9-6-4=-1$ 回になり、ありえません。いちばん多いのは39点で、正解は4です。

33点は2勝7引き分けのときで、いちばん少ない点数です。41点は、引き分けが $-1$ 回になる6勝の場合を数えてしまったときの値です（ $6 \times 6+2 \times 4+3 \times (-1)$ ）。

Aの勝ちの回数ごとの得点

	Aの負け	引き分け	Aの得点
Aが2勝	0回	7回	33点
Aが3勝	1回	5回	35点
Aが4勝	2回	3回	37点
Aが5勝	3回	1回	39点

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（じゃんけんの最小と最大）

タイプ5受け渡しの逆算

数量条件の解き方（受け渡しの逆算）

見分け方：問題文に「持っている数の半分を渡した」「相手が持っている数と同じだけ渡した」のような受け渡しが順に書いてあり、最後の数から、はじめに持っていた数を聞かれます。

解き方の手順

1
表を作り、終わりの行から上へ戻る
列に人と合計、行に「はじめ」から「終わり」までの各時点をとり、受け渡しを1回ずつ後ろからたどります。
2
渡した人は、残った数から戻す
半分を渡して15個残ったなら、渡したのも15個で、渡す前は $15 \times 2=30$ 個です。3分の1を渡したなら、残った数は3分の2の分です。2で割ると3分の1の分になり、それを3倍すると渡す前の数です。
3
受け取った人は、受け取った数を引く
15個受け取って18個になったなら、受け取る前は $18-15=3$ 個です。渡しも受け取りもしない人は、そのままです。
4
合計で確かめる
受け渡しでは、全員の合計は変わりません。どの行も同じ合計になるかを確かめます。

例で確かめるどんぐりの半分を順に渡す

A・B・Cの3人がどんぐりを持っています。次の①〜③の順に受け渡しをしたところ、Aは18個、Bは12個、Cは15個になりました。はじめに3人は何個ずつ持っていたでしょうか。

①　AがBに、Aが持っているどんぐりの半分を渡す。
②　BがCに、そのときBが持っているどんぐりの半分を渡す。
③　CがAに、そのときCが持っているどんぐりの半分を渡す。

終わりの3人の合計は $18+12+15=45$ 個です。受け渡しで合計は変わらないので、どの行も45個です。

終わりの行から上へ戻る

	A	B	C	合計
はじめ				45
①の後				45
②の後				45
③の後（終わり）	18	12	15	45

②の後：③でCは半分を渡して15個残った
①の後：②でBは半分を渡して12個残った
はじめ：①でAは半分を渡して3個残った

自分で解いてみる数量条件の例題5（受け渡しの逆算）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

A、Bの2人がカードを合わせて60枚持っている。2人が次の順にカードを受け渡したところ、2人の枚数は等しくなった。はじめにAが持っていたカードは何枚か。

1回目　AがBに、Aが持っているカードの $\dfrac{1}{3}$ を渡した。
2回目　BがAに、そのときBが持っているカードの半分を渡した。
3回目　AがBに、カードを6枚渡した。

正解は 2

終わりは2人とも $60 \div 2=30$ 枚です。

3回目の前：Aは6枚渡したので $30+6=36$ 枚、Bは6枚受け取ったので $30-6=24$ 枚です。

2回目の前：Bは半分を渡して24枚残ったので、渡す前は $24 \times 2=48$ 枚です。Aは24枚受け取ったので、受け取る前は $36-24=12$ 枚です。

1回目の前：Aは $\dfrac{1}{3}$ を渡したので、残った12枚は、はじめの $\dfrac{2}{3}$ です。 $\dfrac{1}{3}$ の分は $12 \div 2=6$ 枚なので、はじめのAは $6 \times 3=18$ 枚で、渡したのは6枚です。Bは受け取る前 $48-6=42$ 枚です。正解は2です。

12枚は1回目を戻し忘れたとき、24枚は「 $\dfrac{1}{3}$ を渡した」を半分を渡したときと同じように2倍して戻したときの値です。30枚は終わりの1人分です。

カードの枚数の移り変わり（合計はどの行も60枚）

	A	B	合計
はじめ	18	42	60
1回目の後	12	48	60
2回目の後	36	24	60
3回目の後	30	30	60

このタイプの必修問題を解くこのタイプの問題を解く（少ない人の枚数と同じだけ色紙を渡す・4人で3回）

まとめ間違いやすい点

よくある間違い

「確実にいえる」を、1通りの答えだけで選ぶ

タイプ1の例題では、次の3通りが残りました。

答え1

	持っている2枚
A	1と7
B	2と6
C	4と8
D	3と5

答え2

	持っている2枚
A	1と7
B	3と5
C	2と4
D	6と8

答え3

	持っている2枚
A	1と7
B	3と5
C	4と8
D	2と6

「Aは『7』のカードを持っている」は3通りすべてで成り立つので確実です。「Bは『5』のカードを持っている」は答え2と答え3でしか成り立たないので、確実とはいえません。

渡した人を戻すとき、残った数を半分にしてしまう

半分を渡して15個残ったなら、渡す前は30個です。 $15 \div 2$ ではありません。

回数や個数が0より少なくなるのを見落とす

タイプ4の例題（9回勝負）で6勝まで数えると、引き分けが $-1$ 回になり、41点を選んでしまいます。0より少ない回数・個数は数えません。

時間の目安と捨てる判断

カードの和・差の候補を書き出すタイプと、ベン図のタイプは、表や図に書けば2〜3分を目安に取りにいきたい問題です。
金額と個数の内訳で、候補を5つ以上試すことになりそうなら、選択肢の数を式に当てはめて確かめるほうが速いこともあります。
場合分けが3つを超える問題は時間がかかります。式が立たないまま3分を超えたら、ほかの問題へ回るのも手です。

次にやること

「必修」の8問を解く「数量条件」の問題一覧（32問）

先に読む単元

対応関係の解き方

次に読む単元

操作・手順（問題一覧）

5分でわかる数量条件の解き方

数量条件とは・解き方の基本