4分でわかる平行線と線分比の解き方

正解は 2

平行四辺形では AD と BC が平行なので、AD の一部の AE も BC と平行です。AE と BC をそれぞれ辺に持つ三角形FAE と三角形FCB は、Fをはさんで向かい合う砂時計形です（AとC、EとBが対応します）。

AE は AD を5つに分けたうちの4つ分で、平行四辺形の AD と BC は同じ長さなので、AE：CB＝4：5 です。よって AF：FC＝4：5 で、AF＝$45 \times \dfrac{4}{9}$＝20cm です。正解は2です。

36cm は、AE：ED＝4：1 をそのまま AF：FC にした値（$45 \times \dfrac{4}{5}$）です。25cm は FC の長さで、求める線分を取り違えると選んでしまいます。

正解は 4

Dを通り BE に平行な線を引き、AC と交わる点を G とします。頂点Cのピラミッド形で、CG：GE＝CD：DB＝2：1 です。

EC は EG と GC を合わせて 1＋2＝3 で、問題文の AE：EC＝2：3 の EC の 3 とそろっています。よって AE：EG：GC＝2：1：2 です。頂点Aのピラミッド形で、AF：FD＝AE：EG＝2：1 です。正解は4です。

3の 2：3 は、AE：EC をそのまま答えにした値です。2の 1：1 は、CG：GE を CD：DB ではなく DB：CD＝1：2 と逆にとり、EG を 2 にしてしまった値です。

正解は 2

DF を Fの先へ、辺CB を Bの先へ延ばし、交わる点を Q とします。

Fをはさむ砂時計形（三角形FAD と三角形FBQ）で、AD：BQ＝AF：FB＝3：2 です。AD（BC と同じ長さ）を 3 とおくと、BQ は 2 です。BE は BC の $\dfrac{1}{3}$ なので 1 です。EQ は EB と BQ を合わせた長さなので、EQ＝1＋2＝3 です。

Pをはさむ砂時計形（三角形PAD と三角形PEQ）で、AP：PE＝AD：EQ＝3：3＝1：1 です。

三角形AED は、底辺が AD、高さが平行四辺形と同じなので、面積は平行四辺形の半分の60cm²です。三角形APD は、その中で頂点Dが共通、底辺が AP：AE＝1：2 なので、$60 \times \dfrac{1}{2}$＝30cm² です。正解は2です。

60cm² は、三角形AED のまま分け忘れた値です。45cm² は、Q を作らずに AP：PE＝AD：BE＝3：1 としてしまった値（$60 \times \dfrac{3}{4}$）です。

正解は 3

AD と BC は平行なので、三角形OAD と三角形OCB は砂時計形で、AO：OC＝DO：OB＝AD：CB＝3：4 です。

全体から割っていくと分数が続くので、手順1のとおり、いちばん小さい三角形AOD から積み上げます。このあと 3：4 の比を2回使って $\dfrac{4}{3}$ を2回掛けるので、割り切れるように三角形AOD の面積を $3 \times 3$＝9つ分とおきます。「1つ分」が何cm²かは、最後に台形全体の面積から決めます。

• 三角形AOD と三角形AOB は、頂点Aが共通で、底辺 DO と OB が同じ直線の上にあるので、面積の比は 3：4 です。三角形AOB は $9 \times \dfrac{4}{3}$＝12つ分です。
• 三角形AOB と三角形COB は、頂点Bが共通で、底辺 AO と OC が同じ直線の上にあるので、面積の比は 3：4 です。三角形COB は $12 \times \dfrac{4}{3}$＝16つ分です。
• 三角形AOD と三角形DOC は、頂点Dが共通で、底辺 AO と OC が同じ直線の上にあるので、面積の比は 3：4 です。三角形DOC は $9 \times \dfrac{4}{3}$＝12つ分で、三角形AOB と同じです。

台形全体は 9＋12＋16＋12＝49つ分で、これが98cm²なので、1つ分は2cm²です。三角形AOB は $2 \times 12$＝24cm² です。正解は3です。

42cm² は、台形全体を AO：OC＝3：4 で分けた値（$98 \times \dfrac{3}{7}$）です。18cm² は三角形AOD の面積です。