5分でわかる三角形の性質の解き方

三角形の性質とは・三平方の定理

30秒でわかる三角形の性質

三角形の性質の問題は、三角形の長さ・面積・角度を求める問題です。多くは補助線を1本引いて直角三角形を作り、次の道具で解きます。

三平方の定理

直角を挟む2辺を $a$、$b$、斜辺（直角の向かいの一番長い辺）を $c$ とすると　$a^2 + b^2 = c^2$

特別な直角三角形の辺の比

45°・45°・90° は $1:1:\sqrt{2}$　／　30°・60°・90° は $1:\sqrt{3}:2$

三角形の面積

$\text{面積} = \text{底辺} \times \text{高さ} \div 2$（高さは、底辺に垂直に測った長さ）

斜辺は、直角の向かいにある辺で、3辺のうち一番長い辺です。三平方の定理は「直角を挟む2辺をそれぞれ2回掛けて足すと、斜辺を2回掛けた数になる」という意味で、$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ です。

逆も成り立ちます。3辺の長さで $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立てば、その三角形は $c$ の向かいの角が直角です（三平方の定理の逆。タイプ4で使います）。

• $a^2$（$a$ の2乗）は $a \times a$ のことです。$3^2 = 3 \times 3 = 9$ です。
• √（ルート）は「2回掛けるとその数になる正の数」です。$\sqrt{2}$ は約1.41、$\sqrt{3}$ は約1.73です。
• ∠A（角A）は頂点Aのところの角です。∠BAC は辺ABと辺ACが作る角で、真ん中の文字が頂点です。∠CAB と書いても同じ角です。

特別な直角三角形の辺の比（30°・60°・90° と 45°・45°・90°）

3つの角が30°・60°・90°の三角形と、45°・45°・90°の三角形は、角を見ただけで3辺の比が決まります。この単元で一番よく使う道具です。

• 45°・45°・90°（直角二等辺三角形）：正方形を対角線で半分にした形です。1辺1の正方形の対角線は、三平方の定理で $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ です。
• 30°・60°・90°：1辺2の正三角形を半分にした形です。斜辺は2、一番短い辺（30°の向かい）は半分の1、残りの辺は $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ です。30°の向かいの辺は斜辺の半分と覚えます。

相似は、形が同じで大きさだけが違うことです。三角形は、3つの角がそれぞれ等しければ相似で、3辺の比も等しくなります。だから30°・60°・90°の三角形は、どんな大きさでも辺の比が $1:\sqrt{3}:2$ です。

試験での出方

ここで使う三平方の定理と辺の比は、線分比・図形の計量・円の単元の土台になるので、図形の単元の最初に読んでおきたい単元です。

よく出るタイプ

三角形の性質の問題は、次の4つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1三平方＋垂線＋方程式3辺の長さだけから面積を出す→
• タイプ2特別角の辺の比30°・45°・60°・120°などの角がある→
• タイプ3内接円と接線の性質3辺に接する円の半径が分かっている→
• タイプ4格子上の角度マス目の上の2つの角の和→

三角形の性質の解き方（三平方＋垂線＋方程式）

見分け方：問題文に3辺の長さだけが書いてあり、高さも角度も書いてありません。それなのに面積を聞かれます（台形で4辺だけが分かっているときも、上の辺の両端から垂線を下ろせば同じ手順で解けます）。

垂線は、ある点から直線へ垂直に下ろした線です。垂線と直線が交わる点を垂線の足と呼びます。

例で確かめる3辺が10cm・17cm・21cmの三角形の面積

AB＝10cm、AC＝17cm、BC＝21cmの三角形ABCの面積を求めます。AからBCに垂線AHを下ろします。

• BH＝$x$ cm とすると、HC＝$21 - x$ cm です。
• 左の直角三角形ABHは斜辺がAB＝10なので、$h^2 = 10^2 - x^2 = 100 - x^2$ です。
• 右の直角三角形ACHは斜辺がAC＝17なので、$h^2 = 17^2 - (21 - x)^2$ です。$(21 - x)^2$ は $(21 - x) \times (21 - x)$ で、かっこを外して掛け広げる（展開する）と $441 - 42x + x^2$ です。これをかっこごと引いて、$h^2 = 289 - 441 + 42x - x^2 = -152 + 42x - x^2$ です。
• 2つを等しいとおくと $100 - x^2 = -152 + 42x - x^2$。$x^2$ が両辺から消えて $42x = 252$、$x = 6$ です。
• $h^2 = 100 - 6^2 = 64$ なので $h = 8$ cm。面積は $21 \times 8 \div 2 = 84$ cm² です。右の三角形でも $17^2 - 15^2 = 64$ になり、合っています。

三角形の性質の問題：例題1（三辺から面積）

自分で解いてみる三角形の性質の例題1（三平方＋垂線＋方程式）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のような三角形ABCがある。AB＝25cm、AC＝26cm、BC＝17cmであるとき、三角形ABCの面積はどれか。

1170cm²2204cm²3212.5cm²4221cm²5408cm²

答えと解説を見る

三角形の性質の解き方（特別角の辺の比）

見分け方：問題文や図に、30°・45°・60°・120°・135°・150°のような角が書いてあります。正方形や正三角形が出てくる問題も、45°や60°が隠れているのでこのタイプです。90°より大きい角を鈍角といいます（120°・135°・150°など）。

例で確かめる60°を挟む2辺が8cmと5cm

三角形ABCで、AB＝8cm、AC＝5cm、∠A＝60°です。面積を求めます。BからACに垂線BHを下ろします。

• 三角形ABHは ∠A＝60°、∠H＝90° なので、残りの∠ABHは 180°−60°−90°＝30° で、30°・60°・90°の三角形です。
• 斜辺はAB＝8cmです。30°の向かいの辺AHは斜辺の半分で4cm、60°の向かいの辺BHは $4 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ cm です（比 $1:\sqrt{3}:2$ の「1」が4cm）。
• ACを底辺、BHを高さとして、面積は $5 \times 4\sqrt{3} \div 2 = 10\sqrt{3}$ cm² です。

三角形の性質の問題：例題2（鈍角の三角形）

自分で解いてみる三角形の性質の例題2（特別角の辺の比）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のような三角形ABCがある。CA＝7cm、AB＝$4\sqrt{2}$ cm、∠CAB＝135°であるとき、三角形ABCの面積はどれか。

1$7\sqrt{2}$ cm²214cm²3$14\sqrt{2}$ cm²428cm²5$28\sqrt{2}$ cm²

答えと解説を見る

三角形の性質の解き方（内接円と接線）

見分け方：問題文に「3辺すべてに内側から接する円」「円が内接している」と書いてあり、円の半径が与えられます。多くは直角三角形です。

円と直線が1点だけで触れていることを接するといい、その直線を接線、触れている点を接点と呼びます。三角形の3辺すべてに接する円が内接円です。使う性質は2つです。

直角三角形の内接円では、直角の頂点・2つの接点・円の中心でできる四角形を見ます。直角の頂点の角は90°、接点の2つの角は「接点を通る半径は接線と垂直」から90°、残りの角も90°です。となり合う2辺がどちらも半径なので、この四角形は正方形です。だから、直角の頂点から2つの接点までは、どちらも半径と同じ長さです。

例で確かめる半径4cm、ABが9cmの直角三角形

∠A＝90°の直角三角形ABCに、半径4cmの円が内接しています。AB＝9cmのとき、斜辺BC・辺ACと面積を求めます。接点は、AB上をD、AC上をE、BC上をFとし、斜辺BCを $x$ cm とおきます。

• 直角の頂点Aから接点D・Eまでは半径と同じ4cmです。DB＝9−4＝5cm です。
• Bから引いた2本の接線BDとBFは等しいので、BF＝5cm です。斜辺は $x$ cm なので、CF＝$x - 5$ cm です。
• Cから引いた2本の接線CFとCEも等しいので、CE＝$x - 5$ cm。AC＝AE＋EC＝$4 + (x - 5) = x - 1$ cm です。
• 三平方の定理から $9^2 + (x - 1)^2 = x^2$。展開すると $81 + x^2 - 2x + 1 = x^2$ で、$x^2$ が消えて $2x = 82$、$x = 41$ です。
• 斜辺BC＝41cm、AC＝40cm（$9:40:41$ の組）で、面積は $9 \times 40 \div 2 = 180$ cm² です。

三角形の性質の問題：例題3（内接円の半径と斜辺）

自分で解いてみる三角形の性質の例題3（内接円と接線の性質）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、∠A＝90°の直角三角形ABCに円が内接している。円の半径が6cm、斜辺BCの長さが29cmのとき、三角形ABCの面積はどれか。

1174cm²2198cm²3210cm²4240cm²5420cm²

答えと解説を見る

三角形の性質の解き方（格子上の角度）

見分け方：問題文に「同じ大きさの正方形を並べたマス目」があり、マス目の線が交わる点（格子点）を結んでできた2つの角の和を聞かれます。1つずつは半端な大きさに見える角です。

形も大きさも同じ図形を合同といいます。三角形をずらしても（平行移動）、回しても、角の大きさは変わりません。

例で確かめる∠BACと∠EDFの和

下のマス目で、∠BAC と ∠EDF を足すと何度になるかを調べます。

• 三角形DEFを、Dが点Aに重なるように下へ4ますずらします。Fは辺AB上の点H（Aから右へ4ます）、Eは点G（Hの真下へ3ます）にきます。ずらしても角の大きさは変わらないので、∠HAG＝∠EDF です。∠HAGは∠BACのすぐ下に並ぶので、2つの角の和は∠CAGです。
• 三角形AGCの辺を出します。AGは横4ます・縦3ますで $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$、GCは横3ます・縦4ますで $5$、ACは横7ます・縦1ますで $\sqrt{7^2 + 1^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ です。
• $5^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$ なので、三平方の定理の逆から ∠AGC＝90° です。AG＝GC でもあるので三角形AGCは直角二等辺三角形で、∠CAG＝45° です。

三角形の性質の問題：例題4（格子上の角の和）

自分で解いてみる三角形の性質の例題4（格子上の角度）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、同じ大きさの正方形を縦に6個、横に6個並べたマス目があり、マス目の線が交わる点を頂点とする三角形ABCと三角形DEFがかかれている。ABとDFはマス目の横の線に、BCとFEはマス目の縦の線に重なっている。∠BAC＋∠EDFの大きさはどれか。

130°245°350°460°590°

答えと解説を見る

よくある間違い

斜辺と、直角を挟む辺を取り違える

直角を挟む2辺が6cmと8cmなら、斜辺は $\sqrt{36 + 64} = 10$ cm です。斜辺が10cmで1辺が8cmなら、残りの辺は $\sqrt{100 - 64} = 6$ cm で、$\sqrt{100 + 64} = \sqrt{164}$ ではありません。

√2・√3 を付ける辺を間違える

$\sqrt{2}$ が付くのは45°・45°・90°の斜辺、$\sqrt{3}$ は30°・60°・90°の60°の向かいの辺です（はじめにの図）。45°・45°・90°で斜辺が6cmなら、直角を挟む辺は $6 \div \sqrt{2}$ です。分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けると $\dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ cm になります（$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ だからです）。30°・60°・90°で斜辺が10cmなら、短い辺は半分の5cm、長い辺は $5\sqrt{3}$ cm です。

鈍角の三角形に、そのまま辺の比を当てる

鈍角は直角三角形の中の角になれないので、辺を延ばして外側に60°・45°・30°の直角三角形を作ります（タイプ2の例題）。

かっこを付けずに引いて、符号を間違える

$289 - (21 - x)^2$ は $289 - (441 - 42x + x^2) = -152 + 42x - x^2$ です。かっこを付けずに $289 - 441 - 42x + x^2$ とすると、反対側の $-x^2$ と消し合わず、式が解けなくなります。$x^2$ が両辺で消えないときは、展開を見直す合図です。

図の見た目で角度や長さを決める

試験の図は正確とは限りません。格子の角も、見た目で45°と決めず、辺の長さを三平方の定理で出して確かめます。

時間と捨てる判断

• 特別な直角三角形の辺の比だけで済む問題や、三平方の定理を1回使うだけの問題は、1〜2分で取りたい問題です。
• 垂線を下ろして方程式を立てる問題・内接円の問題・格子の角の問題は、式や補助線が見えれば2〜3分で解けます。2分ほど考えても補助線が決まらなければ、後回しにする手もあります。
• 選択肢に√が無ければ、$3:4:5$、$5:12:13$、$9:40:41$ のような3辺が整数の直角三角形を疑うと、方程式を解く前に見当が付くことがあります。
• 迷ったら「どこに垂線を下ろせば直角三角形ができるか」に戻りましょう。どのタイプもここから始まります。