比と割合は、公務員試験の数的推理で毎年出題される頻出パターンです。「連比の合成」「割合の条件から比を求める」「割合の仮定法」「年齢と比の変化」「歯車・回転比」など8つのタイプに分かれます。共通するコツは「条件を比に変換して、比の合成や外項の積＝内項の積で整理する」こと。与えられた条件がどんな形であっても、まず比に直すことがスタートラインです。
| タイプ | ひとことで言うと | 頻出度 | 難易度の目安 |
|---|---|---|---|
| 連比の合成 | 2組の比をつないで3者以上の比を求める | ★★★ | ★★☆ |
| 割合の条件から比を求める | 「全体のうち何分のいくつ」から比を組み立てる | ★★★ | ★★☆〜★★★ |
| 比の維持・按分 | 「比が変わらない」条件から追加量や総量を求める | ★★☆ | ★★☆ |
| 割合の仮定法 | 具体的な数値がない問題で仮の値をおいて解く | ★★☆ | ★★☆〜★★★ |
| 年齢と比の変化 | 過去・未来の年齢比から現在の年齢を求める | ★★☆ | ★★☆ |
| 歯車・回転比 | 直径の比と回転数の反比例を使う | ★★☆ | ★★☆ |
| 比の連鎖計算 | 全体の倍率と内訳比の変化を掛け合わせる | ★★☆ | ★★☆〜★★★ |
| 複数グループの比の合成 | 全体・内訳の比から特定グループの内訳比を求める | ★★☆ | ★★☆ |
このパターンで頻出の用語と公式
比と割合のどのタイプでも繰り返し使う基本の公式・道具です。ここで押さえておくと、各タイプの解説がスムーズに読めます。
この問題で使う用語と公式
比の基本
- 比: 2つ以上の量の大きさの関係を整数で表したもの。例: A:B = 3:5
- 比は「同じ数をかけても割っても比は変わらない」。3:5 = 6:10 = 9:15
- 最簡比: これ以上約分できない比のこと。6:10 → 3:5
分数倍と比の変換
- 「AはBの 倍」→ A:B = 4:9（分子がA、分母がB）
- 具体例: 「兄の所持金は弟の 倍」→ 兄:弟 = 3:4
- 分子と分母を逆にしないこと。「Aが基準Bの何倍か」の分子がA側
連比の合成
- A:B と B:C の2組の比があるとき、Bの値を最小公倍数で揃えることで A:B:C を求められる
- 例: A:B = 3:4、B:C = 2:5 → Bを揃える（4と2の最小公倍数は4）→ A:B = 3:4、B:C = 4:10 → A:B:C = 3:4:10
外項の積＝内項の積
- a:b = c:d のとき ad = bc が成り立つ
- 比を含む方程式を解くときの最重要公式
- 例: (2x+3):5 = 7:10 → 10(2x+3) = 5×7 → 20x+30 = 35 → x =
1. 連比の合成
この問題で使う用語と公式
連比の合成（復習）
- A:B と B:C の2組の比があるとき、共通するBの値を最小公倍数で揃えることで A:B:C を一本の比にまとめられる
- 例: A:B = 4:5、B:C = 3:2
- Bの値は5と3 → 最小公倍数は15
- A:B = 12:15、B:C = 15:10
- よって A:B:C = 12:15:10
整数条件
- 得点や人数を比で表した場合、「全員N点以下」「0人の部はない」などの制約で候補を絞り込む
- 比を k倍（k = 1, 2, 3…）して候補を列挙し、制約を満たすものを選ぶ
こういう問題が出る
「ある高校のA〜Dの4つの部で、A部の部員数はB部の 倍、B部はC部の 倍、C部はD部の 倍。どの部も部員は80人以下のとき、4つの部の部員数の合計は？」のように、複数の分数倍の条件から連比を合成し、整数条件で具体的な値を確定する問題です。
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例題
2. 割合の条件から比を求める
この問題で使う用語と公式
ベン図で3グループに分ける
- 2つの集合（電車とバス、英語と数学など）が重なる問題では、全体を3グループに分けて考える:
- ①Aだけ / ②両方 / ③Bだけ
- 「Aの人数」= ①+②、「Bの人数」= ②+③
割合から比への変換
- 「電車を使う生徒のうち がバスも使う」→ ②/(①+②) = → ①:② = 5:1
- 割合の基準（分母）が「電車を使う生徒」であって「全生徒」ではないことに注意
こういう問題が出る
「電車かバスの少なくとも一方を使って通学する生徒が1,450人。電車を使う生徒のうち はバスも使い、バスを使う生徒のうち は電車も使う。バスだけを使う生徒は何人？」のように、部分集合の割合条件から比を組み立て、全体数から具体量を計算する問題です。
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例題
3. 比の維持・按分
この問題で使う用語と公式
「比が変わらない」条件の意味
- A, B, Cの3つの量にそれぞれ追加したあと、3つの量の比が追加前と同じだった
- → 追加した量の比も元の比と同じでなければならない
- 理由: 元の比がa:b:cで、追加量の比もa:b:cなら、全体の比もa:b:c。追加量の比が異なれば全体の比は変わる
こういう問題が出る
「A, B, Cの3人の貯金のうち、Bは6,300円、AとCの比は5:4。3人に合計5,400円を分けて渡したところ、貯金の比は渡す前と同じだった。CがもらったのはAより300円少ない。もらった後のAの貯金は？」のように、比を保ったまま分配する条件から具体量を求める問題です。
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4. 割合の仮定法
この問題で使う用語と公式
仮定法とは
- 問題文に具体的な金額や個数がなく、割合（%）の条件だけで構成されている問題で使うテクニック
- 仕入値 = 100円、仕入個数 = 10個のように計算しやすい値を仮定して解く
- 答えが「何%か」で問われるため、仮定した値に関係なく同じ答えになる
こういう問題が出る
「ある商品を仕入れ、60%は定価で売れ、残りはすべて定価の半額で売り切った。利益は仕入れ総額の12%であった。定価は仕入れ値の何%上乗せか」のように、具体的な数値が一切なく、割合だけの条件から未知の割合を求める問題です。
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例題
5. 年齢と比の変化
この問題で使う用語と公式
年齢差は一定
- AとBの年齢差は、何年前でも何年後でも変わらない
- 例: 現在A = 30歳、B = 20歳なら、10年後も差は10歳（A = 40、B = 30）
外項の積＝内項の積（復習）
- a:b = c:d のとき ad = bc
- 年齢の比の条件を方程式にするときに使う
こういう問題が出る
「兄と妹の年齢の比は、6年前には5:3だったが、4年後には5:4になる。6年前、母の年齢は兄の4倍だった。現在の母と妹の年齢差は？」のように、過去と未来の年齢比から年齢を特定する問題です。
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6. 歯車・回転比
この問題で使う用語と公式
直径と回転数は反比例
- ベルトや歯で接続された2つの車輪は、円周の移動距離が同じ
- 直径が大きい車輪ほど1回転で進む距離が長い → 回転数は少なくなる
- 直径の比 = a:b → 回転数の比 = b:a（逆比）
- かみ合う歯車も同じ。1回転で送り出す歯の数が歯数なので、歯数の比 = a:b → 回転数の比 = b:a
同軸の車輪
- 同じ軸に固定された車輪は、直径が違っても回転数は同じ
こういう問題が出る
「歯車P（歯数45）とQ（歯数15）がかみ合い、QとR（歯数40）は同じ軸に固定、RとS（歯数16）がかみ合っている。Pを10回転させるとSは何回転するか」のように、複数段の伝達で最終的な回転数を求める問題です。
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例題
7. 比の連鎖計算
この問題で使う用語と公式
比の連鎖計算とは
- ある量が全体として倍率で変化し、かつ内訳の比も変化する場合に、特定の部分量がどうなるかを求める計算
- 分数を順番に掛け合わせていくのがポイント。途中の約分を丁寧にやれば計算量は意外と少ない
こういう問題が出る
「ある水族館の日曜の入館者数は土曜の 倍。大人と子どもの比は土曜が7:3、日曜が5:3。土曜の子どもが90人のとき、日曜の子どもは何人か」のように、全体の倍率と内訳比の変化を組み合わせて計算する問題です。
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8. 複数グループの比の合成
この問題で使う用語と公式
外項の積＝内項の積（復習）
- a:b = c:d のとき ad = bc
- このタイプでは、全体の比の条件から方程式を立てるときに使う
別々の変数でおくこと
- 大人と子どもの人数を同じ変数でおいてはいけない
- 大人 = 3x, 2x（P, Q会場）、子ども = y, 2y（P, Q会場）のように別々の変数を使う
こういう問題が出る
「P会場とQ会場の参加者全体の比は4:5。大人の比は3:2、子どもの比は1:2。P会場の大人と子どもの比は？」のように、全体・グループ別の比から特定のグループ内の内訳比を求める問題です。
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例題
