仕事算

仕事算では、全体の仕事量を「1」とおくのが出発点です。「N日で完了する仕事」なら、1日あたりの仕事量は $\frac{1}{N}$ になります。

• 例: 16日で完了する仕事 → 1日あたり $\frac{1}{16}$
• 例: 40分で満水にする蛇口 → 1分あたり $\frac{1}{40}$

AとBが一緒に作業するとき、2人の1日あたりの仕事量は足し算で求めます。

• AとBの共同作業の1日あたりの仕事量 = $\frac{1}{N_A} + \frac{1}{N_B}$
• 例: Aが12日、Bが20日で終わる仕事を共同で行うと → 1日あたり $\frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{5 + 3}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}$

掛け算（$\frac{1}{12} \times \frac{1}{20}$）にしてしまうミスが非常に多いので注意しましょう。

1日あたりの仕事量が $\frac{1}{24}$ なら、全体を終えるのにかかる日数は逆数をとって $1 \div \frac{1}{24} = 24$ 日です。

仕事算ではまず全体の仕事量を「1」とおきます。N日で完了する仕事なら、1日あたりの仕事量は $\frac{1}{N}$ です。

1人目がD日間作業したら、残りの仕事量は「1 −（1人目の仕事量）」です。

• 例: 1日あたり $\frac{1}{16}$ の人が4日作業 → 完了分 = $\frac{1}{16} \times 4 = \frac{1}{4}$ → 残り = $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

「2人で共同して行うとA1人より a 日早く終わる」とは、共同作業の日数を x とすると、A1人では x + a 日かかるという意味です。

• 共同作業: x 日
• A1人: x + a 日
• B1人: x + b 日

このタイプでは「50m²を20分で掃除」のように、面積や個数と時間が与えられます。まず「1分あたり何m²掃除できるか」を計算するのが第一歩です。

• 1分あたりの作業量 = 面積 ÷ 時間
• 例: 50m²を20分 → $\frac{50}{20} = 2.5$ m²/分

$a + b$、$a + c$、$b + c$ の3つが分かっているとき、3つを全部足すと $2(a + b + c)$ になります。2で割れば $a + b + c$ が求まり、そこから既知のペアの値を引けば1人分が分かります。

「A+Bで6時間、その後A+Cで9時間作業した」とき、Aの使用時間は 6 + 9 = 15時間です。各段階の作業に誰が参加しているかを整理して、1人あたりの合計使用時間を求めることが大切です。

全体の仕事量と既知の人の仕事量が分かれば、残りの仕事量から未知の人の能力を逆算できます。

• 未知の人の仕事量 = 全体 − 既知の人の仕事量
• 未知の人の能力 = 仕事量 ÷ 使用時間

「蛇口Aを使うと24分で満水になる」は、1分あたりの給水量が水槽全体の $\frac{1}{24}$ という意味です。仕事算と全く同じ考え方で、「水槽の容量」を「全体の仕事量」、「給水量」を「仕事量」と読み替えるだけです。

A+Bで24分、A+Cで20分のように2つの条件があれば、それぞれ「ペアの給水量 × 時間 = 水槽の容量V」の式を立てて、V（またはAの給水量）を求めます。

栓を抜くと水が出ていくので、排水は「マイナスの仕事」です。栓を抜いた状態で給水すると、1分あたりに実際に溜まる水の量は「給水量 − 排水量」になります。

• 例: B管の給水量 $\frac{1}{40}$/分、排水量 $\frac{1}{120}$/分 → 実質給水量 = $\frac{1}{40} - \frac{1}{120} = \frac{3 - 1}{120} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$/分

途中で作業方法が変わる問題では、条件が確定している「後半」を先に計算し、全体から引いて「前半」を逆算するのがコツです。