6分でわかるゲーム理論

ゲーム理論とは・利得表の読み方

先に読む論点寡占

行の人の利得は同じ列の中で縦に、列の人の利得は同じ行の中で横に比べます。問題文の「左側の数は企業Aの利得」という但し書きを最初に確かめましょう。

試験での出方

確率を使わずに1つの戦略を選ぶ（純粋戦略）利得表の問題が中心で、国家公務員の試験では混合戦略・逐次手番・繰り返しゲームも出ます。

よく出るタイプ

ゲーム理論の問題は、次の5つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1ナッシュ均衡と支配戦略印を付けて均衡を探す。パレート最適・文字の条件も→
• タイプ2マクシミン戦略戦略ごとの最悪の利得を比べる→
• タイプ3混合戦略確率で選ぶ均衡。相手の2つの戦略を同じ得にする確率→
• タイプ4逐次手番ゲームの木を後ろから解く→
• タイプ5繰り返しゲームトリガー戦略で協調が続く割引因子→

ナッシュ均衡の求め方（利得表に印を付ける）

A社とB社が、商品の価格を「据え置き」にするか「値下げ」するかを、同時に1回だけ選びます。マスの左の数がA社、右の数がB社の利得です。このページでは、この表を「基本の利得表」と呼びます。

図の見方

• A社に印：B社の戦略（列）を1つ決め、その列の左の数を縦に比べて大きいほうに印。相手の戦略を決めたときの自分のいちばん良い戦略を最適反応と呼びます。
• B社に印：A社の戦略（行）を1つ決め、その行の右の数を横に比べます。
• 両社の印がそろったマスがナッシュ均衡です。どちらも自分だけ戦略を変えても利得が上がりません（この表では下がります）。

この表では、A社の印はどちらの列でも値下げの行に付きます。相手が何を選んでも値下げが得なので、値下げはA社の支配戦略です。B社も同じで、両社が支配戦略を選んだ組 (値下げ, 値下げ) を支配戦略均衡と呼びます。

ところが、均衡の (3, 3) から (据え置き, 据え置き) の (6, 4) に移ると、両社とも利得が上がります。両社が支配戦略を選んだ均衡がパレート最適でない、この形を囚人のジレンマと呼びます。

支配戦略均衡とナッシュ均衡・パレート最適の見分け方

見分け方：利得表が1つか2つあり、「純粋戦略のナッシュ均衡」「支配戦略」「パレート最適」を含む文が5つ並びます。表の一部が $x$・$y$ の文字で、「ナッシュ均衡となるための条件」を選ぶ問題もこのタイプです。

ナッシュ均衡の例題

マクシミン戦略の求め方

見分け方：問題文に「マクシミン戦略とは、…最小の利得が最も大きい戦略をいう」と定義が書いてあります。「保証される利得」を聞かれることもあります。

この表のナッシュ均衡は (大型店, 小型店) と (小型店, 大型店) で、マクシミン戦略の組 (小型店, 小型店) とは一致しません。

マクシミン戦略の例題

混合戦略のナッシュ均衡の求め方

見分け方：「混合戦略」「確率」の語があり、均衡での確率か期待利得を聞かれます。各マスに数が1つずつしか無く「相手の利得は符号を反転したもの」とあれば、2人の利得の合計がいつも0のゼロサムゲームです。

使える条件：2行2列の表で、両者が2つの戦略をどちらも選ぶ（確率が0でも1でもない）均衡を求めるとき。

混合戦略の例題

逐次手番ゲームの解き方（後ろ向き帰納法・部分ゲーム完全均衡）

見分け方：「一方が先に選び、もう一方がそれを見てから選ぶ」とあり、ゲームの木（手番の順に枝分かれし、終点に利得を書いた図）が付いています。先に選ぶ人を先手、後に選ぶ人を後手と呼びます。

B社の手番で選ばれない枝（1と0）を灰で消し、残った (5, 2) と (2, 4) をA社が比べて店舗型を選びます。橙の枠がたどり着く終点です。

逐次手番の例題

繰り返しゲームとトリガー戦略（割引因子の求め方）

見分け方：「無限回くり返す」「トリガー戦略」「割引因子 $\delta$」の語があり、協調が続く $\delta$ の最小値を聞かれます。

トリガー戦略は、2社とも協調している限り協調し、どちらかが一度でも裏切ったら次の期から永久に裏切る（1回きりのゲームの均衡の行動をとる）戦略です。割引因子 $\delta$（$0 \lt \delta \lt 1$）は、1期先の利得を今の価値に直すときに掛ける数です。$\delta=0.9$ なら、来期の10は今の9に当たります。今期から毎期 $a$ をずっと受け取ると、今の価値の合計は $a+a\delta+a\delta^2+\cdots=\frac{a}{1-\delta}$（等比数列の和）、翌期から受け取り始めるなら全体に $\delta$ が1つ掛かって $\frac{a\delta}{1-\delta}$ です。

2社とも協調したときの利得を $R$、自分だけ裏切ったときの利得を $T$、2社とも裏切ったとき（罰の期間）の利得を $P$ とすると、協調が続く条件は次の式です。

使える条件：ゲームを無限回（終わりの期が決まっていない形で）くり返し、トリガー戦略で、罰が「次の期から永久に、2社とも裏切る」とき。1回きりの均衡が1つだけのゲームを有限回くり返すなら、最終期から後ろ向きに解くと毎期裏切りになり、協調は続きません。

導き方：協調を続けた合計 $\frac{R}{1-\delta}$ と、今期に裏切った場合の合計（今期 $T$、翌期から罰の $P$ が続くので $T+\frac{\delta P}{1-\delta}$）を比べます。両辺に $1-\delta$ を掛けると $R \geqq T(1-\delta)+\delta P$、整理すると $\delta(T-P) \geqq T-R$ です。

繰り返しゲームの例題

覚えることの表（支配戦略均衡・ナッシュ均衡・パレート最適の関係）

よくある間違い