5分でわかる不確実性

不確実性とは・期待値と期待効用の違い

先に読む論点効用最大化

このページでは、所得を $M$（万円）、効用を $U$ と書きます（泉の問題では所得を $Y$、効用を $u$ と書くことが多いです）。図の人の効用は $U=\sqrt{M}$ で、持っているくじは「確率 $\dfrac{1}{2}$ で0万円、$\dfrac{1}{2}$ で100万円」です。

• 期待値は $0 \times \dfrac{1}{2} + 100 \times \dfrac{1}{2} = 50$ 万円です。所得の平均で、単位は万円です。
• 期待効用は $0 \times \dfrac{1}{2} + 10 \times \dfrac{1}{2} = 5$ です（$\sqrt{0}=0$、$\sqrt{100}=10$）。効用の平均で、金額ではありません。
• 期待効用は「期待値50万円の効用」（$\sqrt{50}$＝約7.1）ではありません。このページでは、この2つをいつも分けて書きます。

試験での出方

計算の問題（確実性等価・リスクプレミアム・保険料の上限）と、文の正誤の問題（危険への態度・保険・リスク分担）の両方が出ます。

よく出るタイプ

不確実性の問題は、次の4つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1期待効用と危険への態度効用関数の形から態度を決め、くじを選ぶ→
• タイプ2確実性等価とリスクプレミアム期待効用を所得に戻し、期待値から引く→
• タイプ3保険にいくらまで払うか保険料の上限・加入する事故の確率→
• タイプ4リスク分担と保険文の正誤。公正な保険・変動の分け方・大数の法則→

期待効用のグラフの読み方（確実性等価とリスクプレミアム）

図の見方

• 横は所得（右へ行くほど多い）、縦は効用（上へ行くほど大きい）です。曲線は、その所得を確実にもらったときの効用を表します。
• くじの期待効用は、2つの結果の点A・Bを結んだ線分の上で、横が期待値になる点Eの高さで読みます。線分ABの上の点は、横も縦も「AとBの平均」になっているからです。確率が $\dfrac{1}{2}$ ずつなら、横は所得の平均（期待値）、縦は効用の平均（期待効用）で、どちらも線分の真ん中です。確率が偏ると、確率の大きい結果の点の側に寄ります。
• 曲線が上へ出っ張る形（上に凸）だと、点Eは曲線より下に来ます。期待値と同じ50万円を確実にもらうほう（点F）が、くじより効用が大きくなります。

所得が1万円増えたときの効用の増え方を限界効用と呼びます。上に凸の曲線は、所得が増えるほど限界効用が小さくなる形です。これを限界効用逓減（ていげん：だんだん減ること）と呼びます。

確実性等価（確実性同値額とも呼びます）は、点Eの高さのまま左（または右）へ進んで曲線にぶつかる点Cの所得です。基本の図では $\sqrt{M}=5$ より25万円で、「くじを持つ」ことと「25万円を確実にもらう」ことが同じ効用になります。リスクプレミアムは、横軸の上での期待値と確実性等価の差 $50-25=25$ 万円です。危険を避けられるなら、平均より25万円少ない確実な所得でもよい、と考える額です。

危険回避的・危険中立的・危険愛好的の見分け方（くじの選択）

見分け方：問題文に効用関数（「$u=\sqrt{Y}$」「$u=\log Y$」「$u=Y^2$」など）と、2つ以上のくじが書いてあります。聞かれるのは「危険に対する態度と、くじの選択の組合せ」です。

期待効用の例題（危険への態度とくじの選択）

確実性等価とリスクプレミアムの求め方

見分け方：効用関数と、所得ごとの確率が与えられ、「確実性等価はいくらか」「リスクプレミアムはいくらか」と聞かれます。言葉を使わず「期待効用と同じ効用をもたらす確実な所得はいくらか」と書かれることもあります。

確実性等価は「その所得の効用 ＝ 期待効用」を所得について解いた値です。効用が $\sqrt{M}$ なら期待効用を2乗、$\sqrt[3]{M}$ なら3乗、$10\sqrt{M}$ のように係数があれば先に係数で割ってから戻します。$\log M$ なら、確率 $p$ で $a$ 万円、$1-p$ で $b$ 万円のとき、確実性等価は $a^p b^{1-p}$ です（期待効用 $p\log a+(1-p)\log b$ が $\log(a^p b^{1-p})$ とまとまるためです。覚えてしまってよい式です）。

確実性等価の例題（リスクプレミアム）

保険料の上限の求め方（保険に入る条件）

見分け方：問題文に「196万円の資産」「確率 $\dfrac{1}{3}$ で事故にあい、192万円の損失」「損失の全額を補償する保険」のように、資産・事故の確率・損失の額がそろって書かれています。聞かれるのは「支払ってもよい保険料の最大値」か「事故の確率がいくら以上なら加入するか」です。

期待損失は、事故の確率に損失を掛けた額です。

使える条件：損失の全額を補償する保険で、保険料は事故がなくても払う（戻ってこない）とき。保険に入らないときの所得の期待値は「資産 − 期待損失」なので、資産 − 確実性等価 ＝（資産 − 期待値）＋（期待値 − 確実性等価）＝ 期待損失 ＋ リスクプレミアム になります。危険回避的な人はリスクプレミアムが正なので、期待損失より多く払ってもよいと考えます。

保険の例題（加入する事故の確率）

リスク分担と保険（危険回避と大数の法則）

見分け方：数字が無く、「リスクの分担と保険に関する記述」「依頼人と代理人」「大数の法則」「保険料が保険金の期待値に等しい保険」のような文が5つ並びます。

リスク分担の例題（文の正誤）

依頼人と代理人の話は、情報の非対称性の論点で、行動が観察できない問題として詳しく扱います。

覚えることの表（危険への態度と曲線の形）

効用は所得が多いほど大きく、人は期待効用を最大にするように選ぶとします。

よくある間違い