**【ステップ1】演算の性質から、○ に入らない記号を先に消す** 記号を総当たりする前に、**「＋と×は値を大きくし、−は小さくする」**という性質で候補を減らします。 1つ目の式は $A$ ○ $B$ ＝ $C$ です。もし ○ が「−」なら $C = A - B$ ですが、$A < B$ なので $A - B$ は負の数になります。$C$ は 1 から 9 までの整数なので、これは起こり得ません。したがって **○ は「＋」か「×」のどちらか**です。残った2通りを順に調べます。 **【ステップ2】○ が「＋」の場合を調べる** $C = A + B$ です。○ が「＋」なので、△ と □ は「−」と「×」を1つずつ使います。 - **△ が「−」のとき**：$D = C - A = (A + B) - A = B$ となります。しかし $B < C < D$ でなければならないので、$D = B$ は矛盾です。**不適**。 - **△ が「×」のとき**：$D = C \times A = (A + B)A$ で、□ は「−」なので $D - B = 5$ です。代入すると $$A^2 + AB - B = 5 \quad \Longrightarrow \quad A^2 + B(A - 1) = 5$$ $A = 1$ のとき左辺は $1 + 0 = 1$ で 5 になりません。$A = 2$ のとき $4 + B = 5$ より $B = 1$ ですが、$A < B$ に反します。$A \ge 3$ のときは $B \ge 4$ なので左辺は $9 + 2 \times 4 = 17$ 以上になり、5 を超えます。よってどの $A$ でも**不適**です。 ○ が「＋」では成り立ちません。 **【ステップ3】○ が「×」の場合を調べる** $C = A \times B$ です。△ と □ は「＋」と「−」を1つずつ使います。 - **△ が「−」のとき**：$D = C - A = AB - A = A(B - 1)$ で、□ は「＋」なので $D + B = 5$ です。 $$A(B - 1) + B = 5$$ $A = 1$ のとき $(B - 1) + B = 5$ より $B = 3$ ですが、このとき $C = 1 \times 3 = 3$ となり $B = C$ で、互いに異なるという条件に反します。$A = 2$ のとき $3B - 2 = 5$ より $B = \frac{7}{3}$ で整数になりません。$A \ge 3$ のときは $B \ge 4$ なので左辺は $3 \times 3 + 4 = 13$ 以上になり、5 を超えます。よって**不適**です。 - **△ が「＋」のとき**：$D = C + A = AB + A$ で、□ は「−」なので $D - B = 5$ です。 $$AB + A - B = 5 \quad \Longrightarrow \quad B(A - 1) = 5 - A$$ $A = 1$ のとき左辺は 0、右辺は 4 で**不適**。$A = 2$ のとき $B = 3$ となり、これは $A < B$ を満たします。$A = 3$ のとき $2B = 2$ より $B = 1$ ですが $A < B$ に反します。$A \ge 4$ のときは右辺が 1 以下、左辺は $B \ge 5$ より 15 以上となり**不適**です。残ったのは $A = 2$、$B = 3$ の1組だけです。 **【ステップ4】残りの値を求めて検算する** $$C = A \times B = 2 \times 3 = 6, \qquad D = C + A = 6 + 2 = 8$$ すべての条件で確かめます。 | 確認する条件 | 結果 | |---|---| | $A < B < C < D$ | $2 < 3 < 6 < 8$ ✓ | | A ○ B ＝ C | $2 \times 3 = 6$ ✓ | | C △ A ＝ D | $6 + 2 = 8$ ✓ | | D □ B ＝ 5 | $8 - 3 = 5$ ✓ | | 記号が3つとも異なる | ○ ＝ ×、△ ＝＋、□ ＝ − ✓ | | 4つの数が互いに異なる | 2、3、6、8 ✓ | したがって $D = 8$ です。 **💡ポイント**: 演算記号を決める問題は、6通り（3つの記号の並べ方）を片端から試すと時間を使います。**「$A < B$ なのに $A$ ○ $B$ が正の $C$ になる」「$D$ は $C$ より大きい」といった大小条件から、入り得ない記号を先に消す**のが定石です。本問では、この絞り込みだけで ○ の候補が2通りになり、方程式まで持ち込む必要のある記号の並べ方は6通りのうち3通りだけで済みました。そのうえで残った式を $B(A - 1) = 5 - A$ のように**片方の文字だけの形に整理し、$A$ が小さい順に代入していく**と、確実に1組に行き着きます。 **よって、正解は肢4 です。**