4分でわかる正多面体・積み木の解き方

正多面体・積み木とは

30秒でわかる正多面体・積み木

この単元は、立体を頭の中で回すのではなく、数を数える単元です。数えるものは2種類あります。

• 正多面体：すべての面が同じ形の正多角形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる立体です。面・辺・頂点の数を数えます。
• 積み木：同じ大きさの立方体を積んだ立体です。立方体の個数を数えます。

辺の数

$\text{辺} = \text{面の数} \times \text{1面の辺の数} \div 2$

頂点の数

$\text{頂点} = \text{面の数} \times \text{1面の角の数} \div \text{1頂点に集まる面の数}$

確かめ（オイラーの多面体定理）

$\text{面} + \text{頂点} - \text{辺} = 2$

積み木の数え方

真上から見た図のマスに積んだ個数を書き、水平に1段ずつ切って数える

正多面体の面・辺・頂点の数（表と数え方）

覚えるのは「面の形」「1頂点に集まる面の数」「面の数」の3つで、辺と頂点は計算で出せます。

正十二面体で確かめます。面は正五角形が12枚です。面をばらばらにすると、辺は全部で $12 \times 5 = 60$ 本あります。立体では1本の辺を2枚の面が分け合っているので、辺は $60 \div 2 = 30$ 本です。ばらばらの面の角も $12 \times 5 = 60$ 個あり、立体では3枚の面の角が集まって1つの頂点になるので、頂点は $60 \div 3 = 20$ 個です。最後に $12 + 20 - 30 = 2$ となり、オイラーの多面体定理に合っています。

5種類しかない理由：1つの頂点には面が3枚以上集まり、そこに集まる角の合計が360°より小さくないと、とがった頂点になりません。正三角形（1つの角が60°）は3枚・4枚・5枚、正方形（90°）と正五角形（108°）は3枚までです。正六角形は120°が3枚で360°ちょうどになり、平らに広がってしまいます。

面の中心を結んだ立体：立方体の6つの面の中心を結ぶと正八面体になり、正八面体の面の中心を結ぶと立方体になります。正十二面体と正二十面体も同じ関係で、正四面体は正四面体になります。どれも面の数と頂点の数が入れ替わるので、表で確かめられます。

積み木の数え方：真上から見た図に個数を書く

積み木は、2つの道具で数えます。なお、立体を斜め上から見て、形が分かるようにかいた図を見取図と呼びます。

道具1　真上から見た図に個数を書く：立体を真上から見たマス目をかき、それぞれのマスに、そこに積んである立方体の個数を書きます。このページでは、この図を「個数の図」と呼びます。全部の個数は、個数の図の数を足すだけです。

道具2　段ごとの平面図：立体を水平に1段ずつ切り、段ごとに真上から見たマス目をかいて、立方体があるマスに○を書きます。段は下から数えます。個数の図の数が2以上のマスには下から2段目にも、3以上のマスには下から3段目（この立体ではいちばん上の段）にも立方体があります。下の図は、上の段から順に並べています。

穴を開ける問題（タイプ1）は道具2で、見えない立方体や面で接する個数の問題（タイプ3）は道具1と道具2の両方を使って数えます。正多面体の問題（タイプ2）は、上の表と2つの式で数えます。

正多面体・積み木の問題：試験での出方

ほとんどの受験先で★2つです。国家公務員の試験では頂点を切り落とした多面体の数を聞く問題、地方の試験では穴を開けた積み木の個数を段ごとに数える問題がよく見られます。

よく出るタイプ

正多面体・積み木の問題は、次の3つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1貫通穴と残る個数積んだ立方体に穴を開けて、残りを数える→
• タイプ2加工した多面体の面・辺・頂点頂点を切り落とした後の数を数える→
• タイプ3見えない立方体と面で接する個数見取図に見えない立方体まで数える→

このほかに、小さな部品を組み合わせて大きな立方体を作るときの最も少ない部品の数や、直方体の対角線が通る立方体の数を聞く問題も出ることがあります。どれも段ごとに分けて数えるのが基本です。

積み木の解き方（貫通穴と残る個数）

見分け方：問題文に「その面から反対側の面までまっすぐくり抜く」と書いてあり、見取図の面のマスに色や丸い印が付いています。聞かれるのは「残る個数」か「くり抜かれた個数」のどちらかなので、最初にどちらかを確かめます。

マス目の、奥から手前へ並ぶ1すじを列と呼び、左から何列目と数えます。左から右へ並ぶ1すじを行と呼び、奥から何行目と数えます。段は下から何段目と数えます。

例で確かめる横4・奥行き4・高さ3の直方体

小立方体を横に4個・奥行きに4個・高さに3個積んだ直方体（$4 \times 4 \times 3 = 48$ 個）に、上の面・正面・右の面から1か所ずつ、反対側の面までまっすぐ穴を開けます。残る立方体は何個でしょうか。

穴の位置は、上の面が奥から2行目・左から3列目、正面が下から2段目・左から2列目、右の面が下から2段目・奥から3行目です。

• 上の面の穴は、3つの段すべてで、奥から2行目・左から3列目のマスを抜きます。
• 正面の穴は下から2段目だけで、左から2列目の4マスを抜きます。
• 右の面の穴も下から2段目だけで、奥から3行目の4マスを抜きます。

下から1段目と3段目は、上の面の穴の1マスだけが抜けて $16 - 1 = 15$ 個残ります。下から2段目では、正面の穴が4マス、右の面の穴が4マス、上の面の穴が1マスを抜きます。ただし正面の穴と右の面の穴は、奥から3行目・左から2列目のマスで交わっているので、1マス分を引きます。上の面の穴（奥から2行目・左から3列目）は、どちらの穴とも重ならないので1マス足します。抜けるのは $4 + 4 - 1 + 1 = 8$ マスで、残りは $16 - 8 = 8$ 個です。

全部で $15 + 8 + 15 = 38$ 個が残ります（くり抜かれたのは $48 - 38 = 10$ 個）。

積み木の問題の例題：貫通穴

自分で解いてみる積み木の例題1（貫通穴と残る個数）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、同じ大きさの小立方体を横に5個・奥行きに4個・高さに4個すきまなく積み上げて直方体を作った。図の塗ったマスは、その面から反対側の面までまっすぐ小立方体をくり抜く位置を表しており、上の面から2か所、正面から2か所、右の面から1か所をくり抜く。くり抜く位置は、上の面が「奥から2行目・左から2列目」と「奥から3行目・左から4列目」、正面が「下から3段目・左から2列目」と「下から2段目・左から4列目」、右の面が「下から3段目・奥から2行目」である。くり抜いても残りの部分は崩れないものとする。このとき、くり抜かれずに残る小立方体の個数はどれか。

118個259個361個462個564個

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正多面体の問題の解き方（頂点を切り落とした立体）

見分け方：問題文に「各辺の中点を通る平面で」や「辺を3等分する点のうち頂点に近いほうの点を通る平面で」のように切る位置が書いてあり、「すべての頂点を切り落とす」とあります。聞かれるのは、残った立体の面の枚数・辺の本数・頂点の数です。

例で確かめる正五角柱を3等分の点で切る

正五角柱（底面が正五角形の角柱）のすべての頂点を、辺を3等分する点のうち頂点に近いほうの点を通る平面で切り落とします。残った立体の面・辺・頂点の数はいくつでしょうか。

正五角柱は正多面体ではありませんが、1つの頂点に集まる辺の数が分かれば、同じ手順で数えられます。正五角柱は、面が7枚（底面の正五角形2枚と側面の長方形5枚）、辺15本、頂点10個で、どの頂点にも辺が3本（底面の辺2本と側面の辺1本）集まります。

右の図は、3本の辺が集まる頂点を真上から見下ろした図です。頂点のまわりを切り落とすと、切り口は辺の数と同じ三角形になります。

正五角柱の頂点を3等分の点で切る

	元の立体	切った後
面	7
辺	15
頂点	10

1. ・面の数：元の面＋頂点の数
2. ・辺の数：すべての面の辺÷2
3. ・頂点の数：元の辺1本に2個

面の数を書き込む ▶最後まで一気に書き込む

確かめると $17 + 30 - 45 = 2$ です。辺は「切り口の三角形の辺 $10 \times 3 = 30$ 本」と「元の辺のうち真ん中に残る15本」を足して $30 + 15 = 45$ 本、と数えても同じです。

正多面体の問題の例題：頂点を切り落とす

自分で解いてみる正多面体の例題（頂点を切り落とした立体）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

正十二面体のすべての頂点を、各辺の中点を通る平面で切り落とした。切り落としたあとに残る立体の辺の本数はどれか。

130本250本360本490本5120本

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積み木の問題の解き方（見えない立方体と面で接する個数）

見分け方：問題文に、立体の見取図と「真上から見て、各マスに積んだ立方体の個数を書いた図」（このページの個数の図）が出てきて、「見えない立方体は何個か」「アの立方体と面で接している立方体は何個か」を聞かれます。問題文に「辺だけで接しているものと、点だけで接しているものは数えない」と書いてあることが多いです。

面で接するとは、2つの立方体が正方形の面をぴったり合わせてくっついていることです。辺（線）だけ、点（角）だけで触れているものは入りません。

例で確かめる16個の積み木

3行3列のマスに立方体を積みました。個数の図は右のとおりです。見取図に見えない立方体は何個でしょうか。また、アの立方体と面で接している立方体は何個でしょうか。

個数の図を足すと $3 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 = 16$ 個です。段ごとに、上・手前・右がすべてふさがっている立方体を探します。

• 下から1段目：9マスすべてに立方体があります。手前の行の3個と右の列の3個（重なりを除いて5個）は、手前か右の面が外に出ているので見えます。残る4個（奥の行の左・真ん中、真ん中の行の左・真ん中）は、どれもマスの数が2以上なので上に立方体が乗り、手前のマスにも右のマスにも1段目があるので見えません。
• 下から2段目：奥の行の左の立方体だけが、上に3段目が乗り（個数3）、手前（真ん中の行の左・2個）と右（奥の行の真ん中・2個）にも2段目があるので見えません。
• 下から3段目：奥の行の左の1個だけで、上が空いているので見えます。

見えないのは $1 + 4 = 5$ 個で、見取図に見えているのは $16 - 5 = 11$ 個です。

アは真ん中のマス（個数2）の上の立方体で、下から2段目にあります。6方向を確かめます。

• 上：真ん中のマスは2個なので、アの上には立方体がありません。
• 下：同じマスの1段目があります。
• 奥：奥の行の真ん中のマスは2個なので、2段目にも立方体があります。
• 手前：手前の行の真ん中のマスは1個なので、2段目には立方体がありません。
• 左：真ん中の行の左のマスは2個なので、2段目にも立方体があります。
• 右：真ん中の行の右のマスは1個なので、2段目には立方体がありません。

アと面で接するのは、下・奥・左の3個です。斜めとなりの立方体（たとえば奥の行の左のマスの下から2段目）は、アと辺だけで接しているので数えません。

積み木の問題の例題：面で接する個数

自分で解いてみる積み木の例題2（見えない立方体と面で接する個数）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図のように、同じ大きさの立方体を積み上げた。右の図は、この立体を真上から見て、各マスに積んだ立方体の個数を書いたものである。アの立方体とイの立方体について、それぞれと面で接している立方体の個数の組み合わせとして正しいのはどれか。ただし、辺だけで接している立方体と、点だけで接している立方体は数えないものとする。

1ア 3個、イ 3個2ア 4個、イ 4個3ア 4個、イ 5個4ア 5個、イ 5個5ア 4個、イ 6個

答えと解説を見る

泉の問題では、立方体を2個つなげた長さの直方体（上半分が白・下半分が斜線に塗り分けてある）を組み合わせた立体もよく出ます。見取図に見える白と斜線から、白のマスとそのとなりの斜線のマスを1組にして、段ごとの平面図に「どのマスがどの直方体か」を番号で書き込みます。1つの直方体は2マス分あるので、その2マスそれぞれについて6方向を調べ、同じ直方体を2回数えないようにします。

よくある間違い

2本の穴が交わるマスを二重に引く

横5列・奥行き3行の段で、正面の穴（3マス）と右の面の穴（5マス）が交わると、抜けるのは $5 + 3 = 8$ マスではなく、$5 + 3 - 1 = 7$ マスです。

「残る個数」と「くり抜かれた個数」を取り違える

例題1では、残るのが62個、くり抜かれたのが18個でした。選択肢にはどちらの数も並んでいることが多いので、最後に問題文の聞き方を読み直します。

横から開けた穴を、全部の段に通してしまう

全部の段を通るのは、上の面から開けた穴だけです。正面や右の面から開けた穴は、その高さの1段だけを通ります。

切り口の面を数え忘れる・2で割り忘れる

頂点を切り落とすと、面は頂点の数だけ増えます。正五角柱を切っても面が7枚のままと考えるのは誤りで、切り口の三角形10枚を足して17枚です。辺は、すべての面の辺を足したあとに2で割ります。

中点で切るのと3等分の点で切るのを混同する

3等分の点で切ると元の辺の真ん中が残ります（正五角柱なら $30 + 15 = 45$ 本）。中点で切ると元の辺は残りません（正五角柱なら切り口の辺 $10 \times 3 = 30$ 本だけ）。

辺や点で接しているものまで数える

タイプ3の「例で確かめる」に出てきたアには、面で接する立方体が3個、辺だけで接する立方体が7個、点（角）だけで接する立方体が5個あります。数えるのは面で接する3個だけです。

時間と捨てる判断

• 正多面体の面・辺・頂点の数を聞くだけの問題は、表を覚えていれば1分かからずに解けます。落とさないようにしたい問題です。
• 頂点を切り落とした立体は、「面＝元の面＋頂点の数」「辺＝すべての面の辺÷2」と、オイラーの多面体定理での確かめを覚えれば、2分ほどで解けます。
• 貫通穴は段の図をかけば確実ですが、段が4段以上あり、穴が多い問題は3〜4分かかります。時間が足りなければ後回しにする手もあります。
• 見えない立方体を考える問題は、2分たっても段ごとの図が決まらなければ、いったん次の問題へ進むのも手です。