5分でわかる投影図の解き方

投影図とは・三面図の約束

30秒でわかる投影図

投影図は、立体を真正面・真上・真横から見た形を、平面にかいた図です。手前から見た正面図、真上から見た平面図、右から見た右側面図の3枚をまとめて三面図と呼びます。立体を斜め上から見て奥行きが分かるようにかいた図は、見取り図と呼びます。

線の約束

その向きから見える辺は実線、ほかの部分に隠れて見えない辺は破線でかく

図の並べ方

平面図は正面図の上に、右側面図は正面図の右に置く

そろう長さ

正面図と平面図は横の幅、正面図と右側面図は高さ、平面図と右側面図は奥行きが同じ

向きの読み方を先に覚えておきます。平面図は下側が手前（正面の側）です。右側面図は左端が手前で、右端が奥です。立体の右に立って左を向くと、左手の側が手前、右手の側が奥になるからです。なので、右側面図を右端から左へ読むと、奥から手前の順に並びます。

三面図から立体を決める手順

平面図のマス目で、奥から手前へ縦に並ぶマスのまとまりを列、左から右へ横に並ぶマスのまとまりを行と呼びます。

積み木の問題では、三面図を方眼でかき、その向きから見て積み木が見えるマスを塗って表します。平面図の●は、そのマスに積み木があるという印です。

大事なのは、3枚の図がそろっても、立体が1つに決まるとは限らないことです。下のアとイは3枚の図が同じなのに、8個と10個です。正面図の左の列の高さ2は「左の列のどこかに2段がある」という意味で、アは奥だけ、イは奥も手前も2段です。

だから試験では、「積み木は最小で何個か・最大で何個か」「この図と矛盾しない立体はどれか」のように聞かれます。

試験での出方

地方上級と特別区でやや多い単元です。積み木や玉の個数を数える問題（下のタイプ1・2）は、数字や印を書き込んだ表を作れば手順どおりに解けるので、取りこぼしたくない問題です。

よく出るタイプ

投影図の問題は、次の4つのタイプに分けられます。カードを押すと、そのタイプの解き方に切り替わります。

• タイプ1個数の最小値（積み木）積み木は最小で何個か→
• タイプ2個数の最大値（透明な立方体の玉）玉は最大で何個入るか→
• タイプ3投影図と見取り図の照合図と矛盾しない立体を選ぶ→
• タイプ4立体の回転体図形を軸のまわりに1回転させる→

このほか、立体に光を当ててできる影の形を考える問題が出ることもあります。

投影図の解き方（積み木の個数の最小値）

見分け方：問題文に「積み木」「宙に浮かず、下から順に積んである」と書いてあり、「積み木の個数として考えられる最小の個数」を聞かれます。

数字入り平面図は、平面図と同じマス目の表に、そのマスに積む個数を書き込んだものです。

例で確かめる3列3行の積み木

下の三面図の立体で、積み木の個数の最小値を考えます。

数字入り平面図（右の列は右側面図、下の行は正面図の高さ）

	左	中央	右	高さ
奥				2
中				3
手前				1
高さ	3	1	2

1. ・平面図：手前の中央は塗られていない
2. ・高さ3：左の列（3）と中の行（3）が交わるマスに3
3. ・高さ2：右の列（2）と奥の行（2）が交わるマスに2
4. ・残り：ほかの6マスは1

平面図を書き込む ▶最後まで一気に書き込む

高さ2を、奥の行は左のマスに、右の列は中の行のマスに、と別々に置くと12個になります。

最大の個数を聞かれたら、×でないマスすべてに上限まで積みます。この例で各マスの上限（列の高さと行の高さの小さいほう）を並べると、奥の行が2・1・2、中の行が3・1・2、手前の行が1と1で、合わせて $5 + 6 + 2 = 13$ 個です。

投影図の例題：積み木の個数の最小値

自分で解いてみる投影図の例題1（積み木の個数の最小値）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

同じ大きさの立方体の積み木をいくつか積み上げて、1つの立体を作った。図は、この立体の平面図・正面図・右側面図である。平面図で網掛けと●のあるマスにだけ積み木があり、平面図は下側が手前、右側面図は左端が手前である。積み木は宙に浮かず、下から順に積んである。このとき、積み木の個数として考えられる最小の個数はどれか。

110個215個316個417個520個

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投影図の解き方（透明な立方体の玉の最大値）

見分け方：問題文に「透明な立方体」「中に玉が入っている」「下の立方体が空でも、その上に玉が入っていてよい」と書いてあり、玉の個数の最大を聞かれます。平面図・正面図・右側面図のどれにも、玉が見える位置に○がかいてあります。

平面図の1マスの上に縦に重なった立方体のまとまりを、ここでは柱と呼びます。玉は柱の途中に浮いていてもよいので、1本の柱を「高さ」の数1つでは表せません。そこで、段ごとに、平面図と同じマス目の表を作って考えます。

例で確かめる3列3行・2段の透明な立方体

透明な立方体を横3・奥行き3・高さ2に積み、いくつかに玉を入れました。下の図から、玉の個数の最大値を考えます。

上の段（○は玉を入れてよいマス）

	左	中央	右
奥
中
手前

1. ・平面図：○の無い柱
2. ・正面図：上の段は左の列に○が無い
3. ・右側面図：上の段は右端（奥）に○が無い
4. ・残り：4マスに入れてよい

平面図を書き込む ▶最後まで一気に書き込む

下の段（○は玉を入れてよいマス）

	左	中央	右
奥
中
手前

1. ・平面図：○の無い柱
2. ・正面図：下の段は右の列に○が無い
3. ・右側面図：下の段は左端（手前）に○が無い
4. ・残り：4マスに入れてよい

平面図を書き込む ▶最後まで一気に書き込む

上の段に4個、下の段に4個で、最大は $4 + 4 = 8$ 個です。中の行の右の柱のように、下の段が空で上の段にだけ玉がある柱もできます（積み木ならありえません）。

投影図の例題：透明な立方体の玉の最大値

自分で解いてみる投影図の例題2（透明な立方体の玉の最大値）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

同じ大きさの透明な立方体を、横に4個・奥行きに2個・高さに3個、すき間なく積み重ねて直方体を作った。いくつかの立方体には玉が1個ずつ入っていて、下の立方体が空でも、その上の立方体に玉が入っていてよい。立方体は透明なので、ある向きから見たとき、視線の先のどれか1つの立方体に玉があれば、その位置に玉が見える。図は、この直方体の平面図・正面図・右側面図で、玉が見える位置に○がかいてある。平面図は下側が手前、右側面図は左端が手前である。このとき、玉の個数として考えられる最大の個数はどれか。

19個210個312個413個518個

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投影図と見取り図の照合の解き方

見分け方：選択肢が立体の見取り図になっていて、問題文に「この投影図と矛盾しない立体はどれか」「妥当なのはどれか」と書いてあります。

図が2枚しかない問題では立体は1つに決まらないので、2枚と合うかどうかだけで「ありうるもの」を選びます。

例で確かめる5個の立方体でできた立体

下の三面図に合う立体を、ア〜ウから選びます。

3枚の図と合うか（○は合う・×は合わない）

	平面図	正面図	右側面図
ア
イ
ウ

1. ・平面図：イは奥の右に立方体があり、手前の中が空いている
2. ・正面図：残ったアとウのうち、左の列が2段なのはウ
3. ・右側面図：ウは手前の行が1段、奥の行が2段

平面図を書き込む ▶最後まで一気に書き込む

アもイも、合わないのは1枚だけです。1枚でも合わなければ選べず、残りの図は確かめなくてかまいません。

投影図の例題：見取り図の照合

自分で解いてみる投影図の例題3（見取り図の照合）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

同じ大きさの小立方体をすき間なく組み合わせて、1つの立体を作った。どの小立方体も宙に浮いていない。図の上は、この立体の平面図・正面図・右側面図で、方眼の網掛けのマス（平面図では網掛けと●のマス）は、その向きから見て立体が見える範囲を表す。平面図は下側が手前、右側面図は左端が手前である。図の下の1〜5は、手前の面・右の面・上の面が見える同じ向きからかいた立体の見取り図である。3枚の図と矛盾しない立体はどれか。

1立体12立体23立体34立体45立体5

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回転体の解き方（軸のまわりに1回転）

見分け方：問題文に「直線ℓを軸として1回転させる」と書いてあり、できる立体の形や切り口を聞かれます。回転体は、図形を1本の直線（回転の軸）のまわりにぐるりと1周させてできる立体です。

例で確かめる軸から離れた長方形

直線ℓから少し離れた所にある縦長の長方形を、ℓを軸として1回転させます。

折り返した切り口は、ℓをはさんで長方形が2つ並び、間にすき間があります。すき間は長方形が通らないので、中心に穴が上から下まで通ります。外側の辺は外の円柱の側面、内側の辺は穴の側面、上と下の辺はドーナツの形の面になります。

投影図の例題：回転体

自分で解いてみる投影図の例題4（立体の回転体）

選択肢を押すと、正解と解説が出ます。

図の台形ABCDは、∠A＝∠B＝90°で、辺ADは直線ℓと平行である。AB＝BC＝2cm、AD＝3cmで、ℓと辺ADの距離は1cmである。この台形を、ℓを軸として1回転させてできる立体を、ℓを含む平面で切ったときの切り口として正しいのはどれか。

1図の12図の23図の34図の45図の5

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よくある間違い

正面図の高さを、その列の積み木の個数と読む

正面図が表すのは、列の中で一番高い所の高さだけです。下の2つは、どちらも正面図で左の列が3段に見えます。

右側面図を左から読んで、奥と手前を逆にする

数字入り平面図の上の行（奥）に書くのは、右側面図の右端の高さです。タイプ1の例題なら、行の高さは奥から2・3・3です。

空白のマスに積む・1を書き忘れる

空白のマスには1個も積めず、空白でないマスには必ず1個以上あります。タイプ1の例題で空白を見落とすと17個、1を書き忘れると8個になります。

積み木と透明な立方体の玉を取り違える

積み木はマスごとの高さで、浮いてよい玉は段ごとの表で考えます。全部の位置に玉が入った状態から、図で○が無い所の玉を取り除いていくやり方では、平面図でも正面図でも取り除く位置を2回数えやすくなります。段ごとの表で「入れてよい位置」を数えると、それが起きません。

時間と捨てる判断

• 個数の最小値・最大値は、数字入り平面図や段ごとの表を作れば手順どおりに解けます。2〜3分を目安に取りにいきたいタイプです。
• 見取り図の照合は、1枚でも合わない所を見つけたら、その選択肢はすぐに消します。
• へこみ（一部を切り取った所）や斜めの面が多い見取り図で、合わない所がなかなか見つからないときは、後回しにする手もあります。
• 回転体は、まず軸で折り返した切り口をかきます。2回続けて回転させる問題は後回しでかまいません。