5分でわかる点の軌跡・図形の移動の解き方

正解は 3

正三角形の1辺4cmは正方形の1辺2cmの2倍なので、1つの辺の上で辺の上の手が1回、続いて角の手が1回あります。1周は、辺の上の手3回と角の手3回の6手です。辺の上の手の角度は $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$、角の手の角度は $360^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 210^\circ$ です。

表の半径は、各手のあとPが正方形のどの頂点にいるかから出ます。

• 手1：回転の中心がP自身（底辺の中点）なので、Pは動きません。手1のあともPは底辺の中点にいて、手2の中心（右下の角）から2cmです。
• 手2で210°回ると、正方形は右の辺の下半分に乗り、Pは右の辺から離れた外側の頂点に来ます。手3の中心（右の辺の中点）から見て正方形の向かいの頂点なので、手3の半径は対角線の $2\sqrt{2}$ cm です。
• 手3のあと、Pは上の角のとなりの頂点になり、手4の半径は2cmです。手4で210°回ると、Pは左の辺の中点に乗ります。これが手5の中心なので、手5ではPは動きません。
• 手6は左下の角を中心に、Pまで2cmです。

1周して正方形ははじめの場所に戻りますが、正方形が回った角度は全部で $3 \times 90^\circ + 3 \times 210^\circ = 900^\circ$（2回転半）です。だからPははじめの頂点には戻らず、正方形の左下の頂点で止まります。

半径2cm・210°の弧が3本で $3 \times 2\pi \times 2 \times \dfrac{210}{360} = 7\pi$、半径 $2\sqrt{2}$ cm・90°の弧が1本で $2\pi \times 2\sqrt{2} \times \dfrac{90}{360} = \sqrt{2}\pi$ です。合わせて $(7+\sqrt{2})\pi$ cm で、正解は3です。

1の $7\pi$ cm は、手3の弧を落とした値です。2は、角を回る手でも、直線の上と同じ $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ しか回らないとした値です。4は、半径0の手1・手5も半径2cmの弧として数えた値、5は、角の手を $360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$ として、正方形の角90°を引き忘れた値です。

正解は 4

回る角度は $180^\circ -$ 内角です。手1の回転の中心は右下の頂点で、内角は45°なので、$180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$ 回ります。Pまでは底辺の4cmです。回ると斜辺が直線に乗ります。

手2の回転の中心は、直線に乗った斜辺の右端の頂点で、ここも内角45°なので135°回ります。Pまでは直角をはさむ辺の4cmで、回るとPが直線に戻ります。弧は2本です。

おうぎ形は2つとも半径4cm・135°で、$\pi \times 4^2 \times \dfrac{135}{360} = 6\pi$ ずつ、合わせて $12\pi$ です。あいだの三角形は手1のあとの三角形そのもので、$4 \times 4 \div 2 = 8$ cm² です。面積は $12\pi + 8$ cm² で、正解は4です。

1は、内角の45°を回る角度にした値です。2は、直角二等辺三角形だから90°ずつ回ると考えた値です。3は三角形を足し忘れた値、5は三角形の面積を $4 \times 4 = 16$ として2で割り忘れた値です。

正解は 3

正三角形の周は $2 \times 3 = 6$ cm なので、Pは周に沿って6cm進むごとに正方形の周に接します。角を回る手でも1手で2cmずつ進むので、この数え方はそのまま使えます。

3回目は18cmです。下の辺8cmと右の辺8cmで16cm、そこから上の辺を2cm進んだ点なので、ウです。正解は3です。

1のアは、はじめの位置を1回目と数えたときの3回目（12cm）です。5のオは24cmで、4回目に接する場所です。

正解は 3

正三角形が直線の上で1手に回る角度は $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ です。

• 手1：回転の中心は前の下の頂点です。Pまでは辺の半分なので、半径 $\dfrac{a}{2}$ の小さい弧です。
• 手2：回転の中心は、手1で直線に乗った頂点です。Pはその頂点の向かいの辺の中点にあるので、Pまでは正三角形の高さ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$ で、大きい弧になります。
• 手3：手1と同じく、半径 $\dfrac{a}{2}$ の小さい弧で、Pが直線に戻ります。

小・大・小の3本で、Pが直線に触れるのは、はじめと最後だけです（弧のつなぎ目は直線から浮いています）。正解は3です。

1は、3本の弧を同じ大きさとした形で、手2の半径が高さになることを見落としています。4は、手ごとにPが直線に戻ると考えた形です。2は弧の大小が逆です。5は、3つの手を1本の大きな弧とみて、手ごとに回転の中心が替わることを見落とした形です。

正解は 3

中心が通る円の半径は $8 + 4 = 12$ cm です。いちばん下からいちばん上までは半周なので、中心の道のりは $2\pi \times 12 \times \dfrac{1}{2} = 12\pi$ cm です。円盤の周は $2\pi \times 4 = 8\pi$ cm なので、回転数は $12\pi \div 8\pi = 1.5$ 回転、角度は $1.5 \times 360^\circ = 540^\circ$ です。正解は3です。

止まったとき、矢印は真上（円Oから遠ざかる向き）を向いています。2の360°は、＋1を忘れて（$8 \div 4 = 2$ 回転の半分の）1回転とした値です。5の1080°は1周分の3回転、4の720°は1周分で数えたうえに＋1も忘れた $8 \div 4 = 2$ 回転の値、1の180°は内側を転がるときの式（$8 - 4 = 4$ cm を半径にする）で出した値です。