軌跡

図のように、1辺 $3a$ の正三角形の外側に、1辺 $a$ の正三角形が辺を合わせて置かれている。小さい正三角形は大きい正三角形の底辺の左端にあり、Pはその小さい正三角形の頂点のうち、大きい正三角形の底辺上にある右側の頂点である。この小さい正三角形を、大きい正三角形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向き（反時計回り）に転がしていく。小さい正三角形が大きい正三角形の周を1周して元の位置に戻るまでに、点Pが描いた軌跡の長さはどれか。ただし、$a>0$ とし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺6cmの正三角形が直線上に置かれている。この正三角形を、直線から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに4回転がす。図に示したPは、はじめに直線に接している2つの頂点のうち、進行方向の後ろ側にある頂点である。このとき、点Pが描いた軌跡の長さはどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺1cmの正方形が直線上に置かれている。この正方形を、直線から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに転がしていく。図に示したPは、はじめに直線に接している2つの頂点のうち、進行方向の後ろ側にある頂点である。頂点Pが再び直線に接するまで転がしたとき、点Pが描いた軌跡の長さはどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺9cmの正方形の内側に、1辺3cmの正三角形が辺を合わせて置かれている。正三角形は正方形の下辺の左端にあり、Pはその正三角形の頂点のうち、正方形の下辺上にある右側の頂点である。この正三角形を、正方形の内側の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに、正方形の内側を反時計回りに転がしていく。正三角形が正方形の内側を1周して元の位置に戻るまでに、点Pが描いた軌跡の長さはどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺 $3a$ の正方形の外側に、1辺 $a$ の正方形が辺を合わせて置かれている。小さい正方形は大きい正方形の下辺の左端にあり、Pはその小さい正方形の4つの頂点のうち、大きい正方形から最も遠い辺（下辺）の左端にある頂点である。この小さい正方形を、大きい正方形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向き（反時計回り）に転がしていく。小さい正方形が大きい正方形の周を1周して元の位置に戻るまでに、点Pが描いた軌跡の長さはどれか。ただし、$a>0$ とし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺12cmの正三角形が直線上に置かれている。この正三角形を、直線から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに右へ転がしていく。点Pは、はじめに直線に接している2つの頂点のうち、進行方向の後ろ側にある頂点である。 点Pがふたたび直線に接するまで転がしたとき、点Pが描いた軌跡と直線とで囲まれた部分の面積はどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、たて4cm、よこ6cmの長方形が直線上に置かれている。この長方形を、直線から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに転がしていく。点Pは、はじめに直線に接している2つの頂点のうち、進行方向の後ろ側にある頂点である。点Pがふたたび直線に接するまで転がしたとき、点Pが描いた軌跡と直線とで囲まれた部分の面積はどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺6cmの正三角形の外側に、1辺2cmの正三角形が辺を合わせて置かれている。小さい正三角形は大きい正三角形の下の辺の左端に辺をぴったり合わせて置かれており、点Pは小さい正三角形の頂点のうち、大きい正三角形の下の辺上にある右側の頂点（左端から2cmの位置）である。この小さい正三角形を、大きい正三角形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに大きい正三角形の外側を1周させて、元の位置に戻す。このとき、点Pが描いた軌跡と大きい正三角形の辺とで囲まれた部分の面積の合計はどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺6cmの正方形ABCDの外側に、1辺2cmの正方形が辺を合わせて置かれている。小さい正方形は正方形ABCDの下の辺の左端に辺をぴったり合わせて置かれており、点Pは、小さい正方形の頂点のうち正方形ABCDの頂点Aに重なっているものである。 この小さい正方形を、正方形ABCDの周から離れないように、また滑ることなく、図の矢印の向きに（頂点A→B→C→Dの順に回る向きに）正方形ABCDの外側を1周させて、元の位置に戻す。 このとき、点Pが描いた軌跡と正方形ABCDの辺とで囲まれた部分の面積の合計はどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺6cmの正六角形の外側に、1辺3cmの正三角形が辺を合わせて置かれている。正三角形は正六角形の下の辺の左半分に辺をぴったり合わせて置かれており、点Pは、正三角形の頂点のうち正六角形の左下の頂点に重なっているものである。この正三角形を、正六角形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに正六角形の外側を1周させて、元の位置に戻す。このとき、点Pが描いた軌跡と正六角形の辺とで囲まれた部分の面積の合計はどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1辺20cmの正方形がある。この正方形の下の辺の左端に、1辺4cmの正三角形が辺をぴったり合わせて、正方形の外側に置かれている。点Pは、正三角形の頂点のうち、正方形の左下の頂点に重なっているものである。 この正三角形を、正方形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向き（反時計回り）に正方形の外側を転がしていく。点Pは、正方形の周から離れては再び接することをくり返す。 図の点ア〜オは、正方形の周上に、矢印の向きに6cmおきにとった5つの点である。アは、点Pのはじめの位置から周に沿って矢印の向きに12cm進んだところにある。 はじめの位置は数えないものとして、点Pが1回目に正方形の周に接したとき、点Pの位置はどれか。

図のように、1辺12cmの正六角形ABCDEFと、1辺3cmの正三角形がある。正三角形は、正六角形の辺ABの左端に辺をぴったり合わせて、正六角形の外側に置かれている。点Pは、正三角形の頂点のうち辺AB上にある2つのうち右側のもので、頂点Aから3cmの位置にある。この正三角形を、正六角形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに正六角形の外側を転がしていく。点Pは、正六角形の周から離れては再び接することをくり返す。図の点ア〜オは、正六角形の周上に3cmおきにとった5つの点である。はじめの位置は数えないものとして、点Pが2回目に正六角形の周に接したとき、点Pの位置はどれか。

図のように、たて6cm、よこ12cmの長方形がある。この長方形の下の辺の左端に、1辺3cmの正三角形が辺をぴったり合わせて、長方形の外側に置かれている。点Pは、正三角形の頂点のうち長方形の左下の頂点に重なっているものである。この正三角形を、長方形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに長方形の外側を転がしていく。点Pは、長方形の周から離れては再び接することをくり返す。図の点ア〜オは、長方形の上の辺の上に3cmおきにとった5つの点で、アは長方形の右上の頂点、オは左上の頂点である。はじめの位置は数えないものとして、点Pが2回目に長方形の周に接したとき、点Pの位置はどれか。

図のように、1辺12cmの正三角形ABCがある。この正三角形の辺ABの外側に、1辺4cmの正方形が辺をぴったり合わせて置かれている。正方形が接しているのは、頂点Aから4cmの位置から8cmの位置までの区間である。点Pは、正方形の頂点のうち辺AB上にある2つのうち左側のもので、頂点Aから4cmの位置にある。 この正方形を、正三角形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向き（頂点A→B→Cの順に回る向き）に正三角形の外側を転がしていく。点Pは、正三角形の周から離れては再び接することをくり返す。 図の点ア〜オは、正三角形の周上に、頂点Bを起点として矢印の向きに4cmおきにとった5つの点で、アは頂点B、エは頂点Cに重なっている。 点Pがはじめの位置を離れたあと、最初に正三角形の周に接するのはどの点か。

図のように、1辺8cmの正六角形がある。この正六角形の下の辺の左半分に、1辺4cmの正方形が辺をぴったり合わせて、正六角形の外側に置かれている。点Pは、正方形の頂点のうち正六角形の左下の頂点に重なっているものである。この正方形を、正六角形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに正六角形の外側を転がしていく。点Pは、正六角形の周から離れては再び接することをくり返す。図の点ア〜オは、正六角形の周上に矢印の向きに4cmおきにとった5つの点で、アは正六角形の右の頂点、オは左上の頂点である。はじめの位置は数えないものとして、点Pが2回目に正六角形の周に接したとき、点Pの位置はどれか。

図のように、たて6cm、よこ14cmの長方形がある。この長方形の下の辺の左端に、1辺2cmの正方形が辺をぴったり合わせて、長方形の外側に置かれている。点Pは、正方形の頂点のうち長方形の左下の頂点に重なっているものである。この正方形を、長方形の周から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに長方形の外側を転がしていく。点Pは、長方形の周から離れては再び接することをくり返す。図の点ア〜オは、長方形の周上に2cmおきにとった5つの点である。はじめの位置は数えないものとして、点Pが3回目に長方形の周に接したとき、点Pの位置はどれか。

図のように、動かない点Oを中心とする円の周上を、点Xが一定の速さで回っている。点Xを中心とする円が点Xといっしょに動いており、その円の周上を点Yが一定の速さで回っている。同じように、点Yを中心とする円が点Yといっしょに動いており、その円の周上を点Zが一定の速さで回っている。1周するのにかかる時間は、点Xが12分、点Yが4分、点Zが9分である。回る向きは、点Xと点Yが反時計回り、点Zが時計回りで、図のそれぞれの点のそばにある矢印がその向きを表している。はじめ、点O・X・Y・Zは図のようにこの順で一直線に並んでいる。このあと、4つの点O・X・Y・Zが初めてふたたび一直線に並ぶのは何分後か。

図のように、点Oを中心とする円の周上を点Xが動き、点Xを中心とする円の周上を点Yが動き、点Yを中心とする円の周上を点Zが動く。点Xを中心とする円は点Xといっしょに、点Yを中心とする円は点Yといっしょに、向きを変えずに平行に動くものとする。 点Xは反時計回りに15分で1周し、点Yは時計回りに10分で1周し、点Zは反時計回りに6分で1周する。3点はいずれも一定の速さで動く。 はじめ、点Xは点Oの真右にあり、点Yは点Xの真上に、点Zは点Yの真上にある。 このとき、O・X・Y・Zの4点が初めて1本の直線上に並ぶのは何分後か。

図のように、点Oを中心とする円の周上を点Xが動き、点Xを中心とする円の周上を点Yが動き、点Yを中心とする円の周上を点Zが動く。点Xを中心とする円は点Xといっしょに、点Yを中心とする円は点Yといっしょに、向きを変えずに平行に動くものとする。 点Xは反時計回りに6分で1周し、点Yは反時計回りに18分で1周し、点Zは時計回りに9分で1周する。3点はいずれも一定の速さで動く。 はじめ、点Xは点Oの真右にあり、点Yは点Xの真右にあるが、点Zだけは点Yの真上にある。 このとき、O・X・Y・Zの4点が初めて1本の直線上に並ぶのは何分後か。

図のように、動かない点Oを中心とする円の周上を、点Xが一定の速さで回っている。点Xを中心とする円が点Xといっしょに動いており、その円の周上を点Yが一定の速さで回っている。同じように、点Yを中心とする円が点Yといっしょに動いており、その円の周上を点Zが一定の速さで回っている。1周するのにかかる時間は、点Xが3分、点Yが4分、点Zが10分である。回る向きは、点Xが反時計回り、点Yと点Zが時計回りで、図のそれぞれの点のそばにある矢印がその向きを表している。はじめ、点Xは点Oの真右、点Yは点Xの真上、点Zは点Yの真左にあって、4つの点は一直線には並んでいない。このあと、4つの点O・X・Y・Zが初めて一直線に並ぶのは何分後か。

図のように、半径12cmの円Oが固定されており、その内側に半径4cmの円盤Pが接している。円Oの周上には、円周を8等分する点が示してある。 はじめ、円盤Pは円Oのいちばん下の点アで接している。この円盤Pを、円Oの内側から離れないように、また滑ることなく、図の矢印の向きに転がしていき（円盤は円Oの周に沿って反時計回りに進み、円盤自身は時計回りに回る）、点アから数えて5つ先の点イで接する位置に来たところで止める。 このとき、円盤Pの中心が動いた道のりの長さはどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、半径24cmの円Oが固定されており、その外側に、中心をPとする半径6cmの円盤が接している。円Oの周上に、円周を12等分する点をとる。 はじめ、円盤は円Oのいちばん下の点アで接している。この円盤を、円Oの外側から離れないように、また滑ることなく、図の矢印の向き（反時計回り）に転がしていき、点アから数えて4つ先の点イで接する位置に来たところで止める。 このとき、点Pが動いた道のりの長さはどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1本の直線に接する半径9cmの円が固定されており、その右下に、この円の外側に接し、かつ同じ直線にも接する半径3cmの円が置かれている。小さい円の中心を点Pとする。この小さい円を、大きい円の外側から離れないように、また滑ることなく、矢印の向きに転がしていき、小さい円が大きい円の真上に来たところで止める。止まったときの小さい円の中心を点Qとする。図の破線の円は、止まったときの小さい円の位置を表している。このとき、小さい円の中心がPからQまで動いた道のりの長さはどれか。ただし、円周率は $\pi$ とする。

図のように、1本の直線に接する半径6cmの円が固定されており、その左下に、この円の外側に接し、かつ同じ直線にも接する半径2cmの円が置かれている。小さい円の中には、中心から真上に向かう矢印がかかれており、この矢印は小さい円といっしょに回る。この小さい円を、大きい円の外側から離れないように、また滑ることなく、図の曲がり矢印の向きに、大きい円の上側を通して転がしていき、大きい円の右下で、ふたたび同じ直線に接する位置に来たところで止める。図の破線の円は、止まったときの小さい円の位置を表している。出発してから止まるまでのあいだに、小さい円にかかれた矢印が回った角度の合計はどれか。ただし、矢印が回った角度は、外から見て回った分をそのまま合計するものとする。

図のように、半径15cmの円Oが固定されており、その外側のいちばん下に、半径5cmの円盤が接している。円盤の中心を点Cとする。円盤の中には、中心Cから円Oと反対の向き（真下）へ矢印がかかれており、この矢印は円盤といっしょに回る。 この円盤を、円Oの外側から離れないように、また滑ることなく、図の矢印の向き（反時計回り）に転がしていく。 円盤にかかれた矢印が、初めてふたたび出発時と同じ向きになるのは、円盤の中心Cが点Oのまわりを何度回ったときか。

図のように、半径18cmの円Oが固定されており、その内側に半径3cmの円盤が接している。円Oの周上には、円周を12等分する点が示してある。円盤の中には、中心から円Oとの接点へ向かう矢印がかかれており、この矢印は円盤といっしょに回る。 はじめ、円盤は円Oのいちばん下の点アで接している。この円盤を、円Oの内側から離れないように、また滑ることなく、図の矢印の向きに転がしていき（円盤は円Oの周に沿って反時計回りに進み、円盤自身は時計回りに回る）、点アから数えて6つ先の点イで接する位置に来たところで止める。 出発してから止まるまでのあいだに、動かない紙の上で見て、矢印の向きは合わせて何度変わったか。ただし、1周を超えた分もそのまま足すものとする。

図のように、1辺の長さが $a$ の正三角形が水平な直線の上に置かれている。点Pは、この正三角形の3つの頂点から等しい距離にある点である。 この正三角形を、直線から離れないように、また滑ることなく、右へ6回転がす。その間に点Pが描く軌跡の形はどれか。図の破線の正三角形は、止まったときの位置を表している。

図のように、台の水平な面は右端で切れていて、そこから垂直な面が真下へおりている。この台の水平な面の上に1辺の長さが $a$ の正方形が置かれており、正方形の右側の辺から台の角までは $2a$ である。この正方形を、台から離れないように、また滑ることなく右へ転がしていく。正方形の1辺が台の垂直な面にぴったり重なったところで、転がすのをやめるものとする。はじめに水平な面と接している辺の左端の頂点を点Pとするとき、その間に点Pが描く軌跡の形はどれか。図の破線の正方形は、止まったときの位置を表している。

図のように、1辺 $a$ の正方形が水平な直線の上に置かれている。点Pは、この正方形の辺のうち、直線に接している辺の中点である。 この正方形を、直線から離れないように、また滑ることなく、右へ4回転がす。その間に点Pが描く軌跡の形はどれか。図の破線の正方形は、止まったときの位置を表している。

図のように、1辺の長さが $a$ の正六角形が水平な直線の上に置かれている。この正六角形を、直線に沿って滑ることなく右へ転がしていく。はじめに直線と接している辺の左端の頂点を点Pとする。点Pがふたたび直線上に来たところで転がすのをやめるとき、その間に点Pが描く軌跡の形はどれか。図の破線の正六角形は、止まったときの位置を表している。

図のように、1辺の長さが $a$ の正方形が水平な直線の上に置かれている。この正方形を、直線に沿って滑ることなく右へ8回転がしたところで止めるものとする。はじめに直線と接している辺の左端の頂点を点Pとするとき、その間に点Pが描く軌跡の形はどれか。図の破線の正方形は、止まったときの位置を表している。

図のように、水平な床の右端に、床と垂直な壁が立っている。床の上に1辺 $a$ の正三角形が置かれており、この正三角形の左下の頂点から壁までの長さは $4a$ である。点Pは、正三角形の頂点のうち、床に接している辺の左端にあるものである。 この正三角形を、床と壁から離れないように、また滑ることなく、右へ5回転がす。その間に点Pが描く軌跡の形はどれか。