5分でわかるマクロで使う計算

マクロ経済学で使う計算とは

各論点のページは、この計算を使う所で一言だけ説明しています。くわしい使い方と練習は、このページのタブで確かめてください。

この計算が出てくる論点

総供給曲線の導き方や経済成長理論の黄金律（1人当たり消費が最も大きくなる資本の水準）を求めるときの微分は、ミクロで使う計算と同じです。

計算の一覧

• タイプ1乗数の分母政府支出や減税で、所得が何倍増えるかを出す→
• タイプ2連立方程式IS と LM の交点・総需要曲線・政策の効果を出す→
• タイプ3変化率の足し算実質成長率・物価上昇率・全要素生産性を出す→
• タイプ4等比数列の和波及を限りなく足した合計を一発で出す→
• タイプ5割引現在価値将来の収益・利子の、今の値打ちを出す→

乗数の分母の組み立て（漏れを足していく）

政府支出が増えると、国民所得はその額より大きく増えます。増えた所得の一部がまた消費に回り、それがだれかの所得になるからです。所得が最初の増加の何倍になるか（乗数）は、モデルごとに公式を覚えなくても、所得が1増えたときに国内の財への需要に回らない分（漏れ）を足していけば出せます。

記号：$c$ は限界消費性向（手取りの所得が1増えたとき、消費が増える額）、$t$ は比例税 $T=T_0+tY$ の税率（$T_0$ は税の定額部分、$Y$ は国民所得）、$m$ は限界輸入性向（所得が1増えたとき、輸入が増える額）です。

利子率の上昇で減る投資が漏れになる理由：所得が1増えると貨幣需要が $k$ 増え、利子率が $\dfrac{k}{h}$ 上がり、投資が $b \times \dfrac{k}{h}$ 減ります（$b$ は利子率が1上がったときの投資の減り方、$k$・$h$ は貨幣需要の所得と利子率への反応の大きさ）。連立のタブの例では $5 \times 0.6 \div 15=0.2$ で、分母は $0.2+0.2=0.4$、所得の増加は $10 \div 0.4=25$ と、連立で解いた答えと一致します。

• 税の漏れが $t$ でなく $ct$ なのは、所得が1増えると税が $t$ 増えて手取りが $t$ 減り、そのうち消費に回るはずだった $c$ の割合（$ct$）だけが需要から消えるからです。
• 最後の行の $b$ は投資の式の利子率の係数、$k$・$h$ は貨幣需要の式の所得・利子率の係数です。意味は財政・金融政策の効果で説明しています。

分子の「最初に増える需要」は、何が変わったかで決まります。

• 政府支出・投資・輸出の増加：その額がそのまま需要になります。
• 減税：減った税はまず手取りを増やし、そのうち $c$ の割合だけが消費（需要）になるので、$c \times$ 減税額です。増税なら $-c \times$ 増税額です。

均衡国民所得（総需要と総供給が等しくなる所得）の水準も、同じ分母で出せます。総需要の式を $Y=\text{切片}+\text{傾き} \times Y$ の形にまとめると、傾きは「所得が1増えたとき総需要が増える額」で、$1-\text{傾き}$ が漏れの合計です。$Y$ を左に集めて $(1-\text{傾き})Y=\text{切片}$ を割れば、$Y=\text{切片} \div (1-\text{傾き})$ です。所得の増加がなぜ最初の増加の「1 ÷ 漏れ」倍になるのか（波及を足し合わせた値になる理由）は、等比数列の和のタブで説明しています。

よくある間違い（乗数）

乗数の例題

連立方程式（IS と LM を解く・利子率を消す）

2本の式を同時に満たす値は、片方の式で1つの文字を表し、もう1本の式に入れて（代入して）その文字を消すと出ます。需要と供給の交点のような基本はミクロで使う計算と同じです。マクロでは式の数も文字（所得 $Y$・利子率 $r$・物価 $P$ など）も多いので、何を消して何を残すかを先に決めます。

このタブでは、次の経済を使います。消費 $C=25+0.8Y$、投資 $I=55-5r$（$r$ は利子率〔%〕）、政府支出 $G=20$、物価 $P=1$、貨幣供給 $M=180$、貨幣需要 $L=0.6Y-15r$ です。

• IS 曲線（財市場が均衡する所得と利子率の組）：$Y=C+I+G$ に入れると $Y=25+0.8Y+55-5r+20$、$Y$ を左に集めて $0.2Y=100-5r$、$r$ について解くと $r=20-0.04Y$ です。
• LM 曲線（貨幣市場が均衡する所得と利子率の組）：$\dfrac{M}{P}=L$ より $180=0.6Y-15r$、$r$ について解くと $r=0.04Y-12$ です。

図の見方

• 交点 E0 では、2本の式の利子率が等しくなります。$20-0.04Y=0.04Y-12$ より $0.08Y=32$、$Y=400$、利子率は $20-0.04 \times 400=4$ です。
• 政府支出を10増やすと IS が右へ動きます。利子率が4のままなら、所得は乗数の分 $10 \div 0.2=50$ 増えて450（点F）です。
• 実際は所得が増えると貨幣が多く要り、利子率が上がって投資が減るので、新しい交点 E1 の所得は425で、Fの450との差25をクラウディング・アウト（押しのけ）と呼びます。

3つの使い方

1. 形をそろえて等しくおく：上の交点のように、2本とも「$r=\cdots$」の形にして右辺どうしを等しくおきます。
2. 文字の項ごと入れる：物価 $P$ を文字のまま残すと、総需要曲線（物価と、財市場・貨幣市場がともに均衡する所得の組）が出ます。IS の $0.2Y=100-5r$ を3倍して $15r=300-0.6Y$ とし、LM の $\dfrac{180}{P}=0.6Y-15r$ の $15r$ にそのまま入れると、$\dfrac{180}{P}=1.2Y-300$、つまり $Y=250+\dfrac{150}{P}$ です。$r$ について解かず、係数をそろえて項ごと入れると分数が出ません。
3. 変化分で解く：政策で何がいくら変わるかだけを聞かれたら、式の両辺で前と後の差を取ります。数だけの項は前と後で同じなので消え、変化分（$\Delta$ の付いた量）だけの式になります。

式が3本以上あるときは、1本で決まる文字から順に解きます。たとえばマンデル＝フレミング・モデルの一部の型では、利子率が外国と同じ値に決まるので、利子率 → LM で所得 → IS で為替レートの順に解きます。

よくある間違い（連立）

連立方程式の例題

変化率の足し算（実質＝名目−物価・成長会計）

変化率は「（後の値 − 前の値）÷ 前の値」で、何%増えたかです。マクロの式は「実質GDP ＝ 名目GDP ÷ 物価」のような掛け算・割り算が多く、そのまま計算すると手間がかかります。変化率が小さいときは、掛け算の変化率は足し算、割り算の変化率は引き算で近似できます。

下の図は、価格が100から110へ10%、数量が100から120へ20%増えたときの売上（価格 × 数量）の長方形です。

図の見方

• 売上の増え方は、右の帯（数量の増加の分）、上の帯（価格の増加の分）、右上の小さな角の3つです。
• 2つの帯は元の売上の20%と10%で、足すと30%です。角は $20\% \times 10\%=2\%$ で、実際の増え方は32%です。
• 角は2つの変化率の積なので、変化率が小さいほど無視できます。2%と3%なら角は0.06%で、足し算の5%と実際の5.06%はほぼ同じです。

べき乗は同じ数の掛け算なので、$K^2$ の変化率は $K$ の変化率の2倍です。指数が0.4のような小数でも、同じく0.4倍になります（理由は微分を使うので省きますが、試験ではこの決まりだけ使えば足ります）。この3つの決まりを、論点ごとの式に当てはめます（表の GDPデフレーター は物価の指数、$MV=PY$ の $M$ は貨幣量、$V$ は貨幣が1年に何回支払いに使われるか〔流通速度〕、$P$ は物価、$Y$ は実質所得）。

最後の行の $g$ は成長率（$g_Y$ は所得、$g_A$ は全要素生産性＝資本と労働の量では説明できない生産の伸び、$g_K$ は資本、$g_L$ は労働）です。利子率も同じで、名目利子率（ふつうに目にする利子率）≒ 実質利子率（物価の上昇を差し引いた利子率）＋ 予想インフレ率です（総需要・総供給）。

よくある間違い（変化率）

変化率の例題

等比数列の和（乗数の波及・信用創造・永久に続く収益）

政府支出が50増え、限界消費性向が0.6なら、所得は 50、その0.6倍の30、そのまた0.6倍の18、…と増えていきます。このように同じ倍率で続く数の並びを等比数列、最初の数（ここでは50）を初項、倍率（ここでは0.6）を公比と呼びます。波及は限りなく続きますが、足す数がどんどん小さくなるので、合計は決まった値に近づきます。

図の見方

• 棒は、何回目までの所得の増加を足したかの合計です。1〜3回目の棒の色の濃い所が、その回に足した分です（4回目からは合計だけを示します）。
• 足す分は50、30、18と0.6倍ずつ小さくなり、合計は50、80、98と増え方が鈍っていきます。
• 限りなく足すと、合計は破線の125に近づきます。

マクロでは、次の3つが同じ形の計算です。公比は「1回ごとに、次へ回る割合」です。表の準備率は、銀行が預金のうち貸し出さずに残しておく割合です。

割引現在価値の意味は、割引現在価値のタブで説明しています。

よくある間違い（等比数列）

等比数列の例題

割引現在価値（1年ずつ割る・永久なら利子率で割る）

利子率が4%なら、今の100万円は1年後に104万円になります。逆に、1年後に受け取る104万円は、今の100万円と同じ値打ちです。このように、将来に受け取る額を今の値打ちに直したものを割引現在価値と呼びます。1年後の額は（1＋利子率）で1回割り、2年後の額は1年分ずつ2回割ります（2年の間に利子が2回付くため）。

永久に続くときに利子率で割るだけになる理由は、等比数列の和のタブの表の3行目です。

債券（毎年決まった利子を払う証書）の価格も、この式で決まります。毎年12万円の利子が永久に払われる債券は、利子率が2%なら $12 \div 0.02=600$ 万円、3%なら $12 \div 0.03=400$ 万円です。利子率が上がると債券の価格は下がる、という逆向きの動きは、この割り算から出ます（貨幣需要の投機的動機）。

よくある間違い（割引現在価値）

割引現在価値の例題

覚えることの表

よくある間違い