5分でわかるミクロで使う計算

ミクロ経済学で使う計算とは

各論点のページは、この計算を使う所で一言だけ説明しています。くわしい使い方と練習は、このページのタブで確かめてください。

この計算が出てくる論点

弾力性の計算は弾力性、期待値の計算は不確実性のページで扱います。

計算の一覧

• タイプ1べき乗の微分限界費用・限界効用・限界収入を出す→
• タイプ2微分して0とおく利潤や効用が最大になる量を出す→
• タイプ3連立方程式需要と供給など、2本の線の交点を出す→
• タイプ4三角形・台形の面積余剰・死荷重・税収を出す→
• タイプ5コブ＝ダグラス型効用を最大にする買い方を一発で出す→

べき乗の微分（限界費用・限界効用の出し方）

ミクロ経済学の「限界」は、「もう1単位増やしたときに、どれだけ増えるか」です。限界費用（MC）なら、生産量を1個増やしたときの総費用（TC）の増え方です。この増え方は、総費用の線の傾き（横に1進んだとき、縦にいくら上がるか）で表せます。線のある1点での傾きを式で出す計算が微分です。

下の図の総費用は $TC=Q^2+10Q+50$ です（$Q$ は生産量〔個〕、50は固定費用＝つくる量に関係なくかかる費用）。

図の見方

• 総費用の線は、つくる量が増えるほど急になります。急なほど、1個増やしたときの費用の増え方が大きいということです。
• 10個から11個へ1個増やすと、総費用は250円から281円へ31円増えます（点Aから点B）。ただ、線は曲がっているので、1個ぶんで測るとAとBの間の平均の傾きになり、点Aちょうどの傾きから少しずれます。
• 点Aちょうどの傾きを出すのが微分で、下の公式で $TC$ を微分すると $2Q+10$、10個なら $2 \times 10+10=30$ 円です。試験では、この微分で出した値を限界費用として使います。

$Q^3$ は $Q$ を3回掛けたもの（べき乗）で、右上の小さな数3を指数といいます。

微分するときは、式を項ごとに分けて、1つずつ微分してから足します。

よく出る形をまとめると、次のとおりです。

ルートと分数は、指数に直してから微分する

ルート（$\sqrt{\ }$）や分数の形は、そのままでは手順が使えません。先に「何乗か」の形に直します。

• $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$（ルートは $\frac{1}{2}$ 乗）
• $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$（分母の $x$ は $-1$ 乗）
• $x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$（答えを元の形に戻すとき）

たとえば $Q=20\sqrt{L}$（$L$ は労働の量）は $20L^{\frac{1}{2}}$ です。指数 $\frac{1}{2}$ を前に出し、指数から1を引くと $\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$ なので、微分すると $20 \times \frac{1}{2}L^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{10}{\sqrt{L}}$ です。$L=25$ なら $\dfrac{10}{5}=2$ です。

$\dfrac{1}{Q}$ も同じで、$Q^{-1}$ の指数 $-1$ を前に出し、$-1-1=-2$ 乗にして $-Q^{-2}=-\dfrac{1}{Q^2}$ です。

文字が2つある式は、もう一方をただの数とみる

効用関数 $U=x^2y$ のように文字が2つある式で、X財の限界効用（X財だけを1単位増やしたときの効用の増え方）を出すときは、$y$ を決まった数とみて $x$ で微分します。$x^2$ が $2x$ になり、$y$ はそのまま掛けて残るので $2xy$ です。Y財の限界効用は、$x^2$ を数とみて $y$ で微分し、$x^2$ です。

効用関数が $\ln x$（自然対数。問題では $\log x$ とも書く）の形で出ることもあります。$\ln x$ は微分すると $\dfrac{1}{x}$ になる、と決まった形だけ覚えておけば足ります。たとえば $U=\ln x+\ln y$ なら、X財の限界効用は $\dfrac{1}{x}$ です。

微分の例題

微分して0とおく（利潤最大化・効用最大化の求め方）

利潤や効用を最大にする量は、「最大にしたい式を微分して0とおく」と出ます。理由は、式の線が山の形のとき、山の頂上では線が平らになり、傾きが0になるからです。

利潤は $\pi$（パイ）という文字で表します。価格50円で売る企業の総費用が $Q^2+10Q+100$ なら、利潤は総収入 $50Q$ から総費用を引いて、$\pi=50Q-(Q^2+10Q+100)=50Q-Q^2-10Q-100=-Q^2+40Q-100$ です。微分すると $-2Q+40$ で、これがその量での利潤の線の傾きです。

図の見方

• 山の左（10個）では傾きが $-2 \times 10+40=+20$ とプラスなので、まだ量を増やすと利潤が増えます。
• 山の右（30個）では $-2 \times 30+40=-20$ とマイナスなので、減らすと利潤が増えます。どちらでもない傾き0の点Mが頂上です。

利潤の式を微分した $-2Q+40$ を0とおくと $Q=20$ 個で、利潤は $-400+800-100=300$ 円です。

最大の例題

連立方程式（需要と供給の交点・均衡価格の求め方）

2本の線の交点は、両方の式を同時に満たす点です。需要曲線と供給曲線の交点なら、そこでは2本の価格が等しいので、2本の式を「等しい」とおいて解きます。この計算を連立方程式を解くといいます。

図の見方

• 同じ数量でも、需要の式と供給の式では価格が違います。交点Eだけで2本の価格が等しくなります。
• $100-2Q=10+Q$ の $Q$ を右、数を左に集めると $100-10=2Q+Q$、$3Q=90$ で $Q=30$ 個です。どちらかの式に入れて価格は40円です。これが均衡（需要量と供給量が等しい状態）の数量と価格です。

文字が数量どうしのとき（寡占の反応関数）

寡占の論点では、A社の量 $q_A$ とB社の量 $q_B$ の式（反応関数：相手の量に対して自分の利潤が最大になる量）を連立します。$q_A=30-\frac{1}{2}q_B$、$q_B=30-\frac{1}{2}q_A$ なら、2本目の $q_A$ に1本目を入れます。$q_B=30-\frac{1}{2}(30-\frac{1}{2}q_B)=30-15+\frac{1}{4}q_B=15+\frac{1}{4}q_B$ です。$\frac{1}{4}q_B$ を左へ移すと $\frac{3}{4}q_B=15$、$q_B=20$ です。これを1本目に入れて $q_A=30-10=20$ です。2社の費用が同じで式の形がまったく同じときは、答えも同じ量になるので、$q_A=q_B$ とおいて $q=30-\frac{1}{2}q$ を解くと早く出ます。費用が違うときは、この近道は使えません。

連立方程式の例題

三角形と台形の面積（消費者余剰・死荷重の計算）

余剰（市場で売り買いしたことで買い手・売り手が得をした額）・死荷重・税収は、需要曲線と供給曲線の図の面積で出します。直線の図なら、形はほとんど三角形・台形・長方形のどれかです。余剰の意味は余剰分析でくわしく説明しています。

余剰の三角形は直角三角形になることが多いので、直角をはさむ2辺の「縦の辺（価格の差）× 横の辺（数量の差）÷ 2」で出します。縦の辺は値段の差なので、どこからどこまでかを図の目盛りで確かめます。

下の図は、需要曲線 $P=100-2Q$・供給曲線 $P=10+Q$ の市場です（連立方程式のタブと同じ市場。交点Eは30個・40円）。

図の見方

• 価格40円の線より上の三角形（消費者余剰＝買い手の得）は、縦の辺が $100-40=60$ 円、横の辺が30個で900円です。
• 価格の線より下の三角形（生産者余剰＝売り手の得）は、縦の辺が $40-10=30$ 円で450円です。
• 供給の線の下の台形（固定費用を除いた、30個ぶんの追加の費用の合計）は、平行な2辺が10円と40円、幅が30個で750円です。
• 最後の段の三角形は、下の例で出す死荷重です。

面積の例題

コブ＝ダグラス型の公式（効用最大化の早解き）

効用関数が $U=x^ay^b$ の形（X財の量 $x$ と、Y財の量 $y$ の何乗かを掛けた形）をコブ＝ダグラス型といいます。この形なら、効用を最大にする買い方は、所得 $M$ を指数の比 $a:b$ で分けるだけで出ます。

記号：$P_X$・$P_Y$ はX財・Y財の価格です。$P_X x$ は「価格 × 量」で、X財に使う額です。予算の式 $P_X x+P_Y y=M$ は「2つの財に使う額の合計が所得 $M$」という意味です。

導き方：効用が最大の所では、限界代替率（MRS：X財の限界効用 ÷ Y財の限界効用）が価格の比 $\frac{P_X}{P_Y}$ と等しくなります（理由は効用最大化の論点）。$y$ を数とみて微分したX財の限界効用は $ax^{a-1}y^b$、Y財は $bx^ay^{b-1}$ です。割ると $x$ と $y$ が1つずつ打ち消し合い、MRS は $\dfrac{ay}{bx}$ です。$\dfrac{ay}{bx}=\dfrac{P_X}{P_Y}$ の両辺に $bx$ と $P_Y$ を掛けると $aP_Yy=bP_Xx$、つまり $P_X x : P_Y y = a : b$ です。

同じ考え方は、ほかの論点でも使えます。余暇と消費の効用（労働供給）、今年と来年の消費の効用（2期間の消費）、生産関数 $Q=K^aL^b$ の費用を最小にする投入（生産要素の投入。資本と労働に使う額の比が $a:b$）がコブ＝ダグラス型なら、同じく指数の比で分けます。

コブ＝ダグラス型の例題

覚えることの表

よくある間違い